【文档说明】七年级下册数学讲义第01讲《整式的乘除培优》教案.doc，共(17)页，343.500 KB，由小喜鸽上传

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学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---整式的乘除授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘

方）②掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为mnmnaaa（m,n都是正整数，底数a不仅可以表示

具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,mnpmnpaaaamnp都是正整数）②(,mnmnaaamn都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方幂的乘方体系搭建1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如

53()a是3个5a相乘，读作a的五次幂的三次方，()mna是n个ma相乘，读作a的m次幂的n次方。2、幂的乘方的运算性质：()(,mnmnaamn都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可

推广为()(,,pmnmnpaamnp都是正整数）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如3()()nabab、等2、积的乘方的运算性质：()(nnnababn是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个

因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为()(nnnnabcabcn是正整数）（三）平方差与完全平方公式1、平方差公式：22()()ababab，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：2222()()

ababaababbab。平方差公式的逆用即22()()ababab平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反

数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式：222()2abaabb222()2abaabb即两个数的和（或差）

的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式：①2222ababab②2222ababab③2222()ababab④22()()4ababab⑤22

()()4ababab（四）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：()(,,,mabcmambmcm

abc都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：()()(,,,mnabmambnanbmnab都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运

算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为mnmnaaa（0,,amn都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,mnpmnpaaaamnp都是正整数）②(,mnmnaaamn都是正整数），0的非

零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)aa（②1(0ppaapa，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,ppaappaa为正整数）4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正

数可以表示为10na的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。（六）整式的除法1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只

在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方例1、若am=2，an=3，则am+n等于（）A．

5B．6C．8D．9【解析】B例2、若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（）A．x，y互为相反数B．x，y互为倒数C．x=yD．无法判断【解析】A例3、为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，

可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则典例分析2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算

1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1B．52013+1C．D．【解析】令S=1+5+52+53+…+52012则5S=5+52+53+…+52012+520135S﹣S=﹣1+520134S=52013﹣1，则S=．

故选D．例4、已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c【解析】∵a=（25）11=3211，b=（34）11=8111，c=（43）11=6411∴b

＞c＞a．故选C例5、（1）已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．（2）已知3x+2•5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值【解析】（1）2a+b+3=2a•2b•23=5×3×8=120（2）∵3x+2•5x+2=（15）x+2=153x﹣4∴x+

2=3x﹣4，解得：x=3∴（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4=﹣9例6、计算：（1）（﹣x5）•x3n﹣1+x3n•（﹣x）4（2）（3）a4•（3a3）2+（﹣4a5）2（4）[（﹣x2）3•（﹣x3）2]3【解析】（1）原式=0（2）

原式=﹣（3）原式=25a10（4）原式=﹣x36考点二：平方差与完全平方公式例1、可以用平方差公式进行计算的是（）A．（3a+2b）（﹣3a+3b）B．（3a﹣2b）（﹣3a+2b）C．（3a+2b）（﹣3a+2b）D．（﹣3a﹣2b）（3a+2

b）【解析】C例2、（1）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值（2）对于所有有理数，我们规定=ad﹣bc，按上述规定运算，求的值．【解析】（1）∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b=（a+b）（a﹣b）+4b=2（a﹣b）+4b=2a﹣2b+4b=2a+2b=2（a+b）=4（2）∵=ad﹣

bc，∴=（x+y）（x﹣y）﹣（﹣x+y）（﹣x﹣y）=x2﹣y2﹣（x2﹣y2）=0例3、如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a﹣b）2=a2﹣

2ab+b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．a2+ab=a（a+b）【解析】正方形中，S阴影=a2﹣b2梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a

﹣b）．故选：C例4、在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记nk=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知+4x+m，m的值是（）A．40B．﹣70C．﹣40D．﹣20【解析】∵x2项的系数

是4，∴n=5，∴（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4）=（x2+x﹣2）+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20）=4x2+4x﹣40，∵[（x+k）（x﹣k+1）]=4x2+4x+m，∴m=﹣

40．故选C．例5、（1）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．（2）已知a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2﹣ab+b2的值．【解析】（1）∵（a+b）2=25，（a﹣

b）2=9∴a2+2ab+b2=25①，a2﹣2ab+b2=9②∴①+②得：2a2+2b2=34∴a2+b2=17①﹣②得ab=4（2）a2+b2=（a2+b2）=（a+b）2﹣ab当a+b=5，ab=7

时a2+b2=×52﹣7=a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab当a+b=5，ab=7时，a2﹣ab+b2=52﹣3×7=4例6、图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一

个正方形．（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1：（只列式，不化简）方法2：（只列式，不化简）（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间

的等式关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．【解析】（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n故答案为：m﹣n；（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为

2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n（3）由题意可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．例7、计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（

2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）（3）（2x3y5﹣3a2b4）（﹣2x3y5﹣3a2b4）（4）（a+3）2﹣（a﹣2）（a+2）（5）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）（6）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）【解析】解：（1）原式=216﹣1（2）原式=5x

2﹣2y2（3）原式=9a4b8﹣4x6y10（4）原式=6a+13（5）原式=12xy+10y2（6）原式=4x+5考点三：同底数幂的除法例1、下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6B．a6÷a3=a2C．（a2）3=a8D．a2•a3

=a5【解析】D例2、计算﹣2016﹣1﹣（﹣2016）0的结果正确的是（）A．0B．2016C．﹣2016D．﹣【解析】D例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是（）A．9.1×10﹣8B．9.1×10﹣7C．0.9

1×10﹣8D．0.91×10﹣7【解析】A例4、计算（1）（﹣）﹣1+（﹣2）2×20160﹣（）﹣2（2）4.4×10﹣19×109÷（2.2×10﹣11）+100（3）30（4）﹣（﹣）﹣2﹣24×（﹣2016）0【解析】（1）原式=﹣9（2）原式=21（3）原式=（4

）原式=﹣9例5、（1）若3m=6，3n=2，求32m﹣3n+1的值（2）已知9m÷32m+2=n，求n的值【解析】（1）32m=36，33n=832m﹣3n+1=32m÷33n×3=36÷8×3=（2）∵32m+2=（32）m+1=9m+1∴9m÷3m+2=9m÷9m+1=9﹣1==（）2，∴n

=2考点四：整式的乘法与除法、混合运算例1、下列计算正确的是（）A．（xy）3=xy3B．x5÷x5=xC．3x2•5x3=15x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y9【解析】C例2、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的

一次项，则m的值为（）A．﹣3B．3C．0D．1【解析】∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0解得m=﹣3．故选：A例3、计算：（1）x2y×（﹣2xy2）（2）（4a3b﹣6a3b2﹣10ab2）÷（2a

b）（3）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy）（4）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）【解析】（1）原式=﹣x3y3（2）原式=2a2﹣3a2b﹣5b（3）原式=﹣y+2（4）原式=﹣2n+2n2+1例4、化简求值（1）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（

x﹣y）（x+y）﹣2y2的值（2）已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值（3）已知（x﹣y）2=9，x2+y2=5，求[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y的值．【解析】（1）（x﹣2y）2﹣（

x﹣y）（x+y）﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2=﹣y（4x﹣3y）∵4x=3y∴原式=0（2）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣

（x2+2x+1）+1=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1=x2﹣5x+1∵x2﹣5x=3∴原式=3+1=4（3）（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y=2xy﹣2由（x﹣y）2=9，得x2﹣2xy+y2=9∵x2+y2=5∴﹣2xy=4∴xy=﹣2

∴原式=﹣4﹣2=﹣6P(Practice-Oriented)——实战演练课堂狙击1、计算（﹣a）3•（﹣a）2的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a5D．﹣a5【解析】D2、（1）已知am=7，an=5，ap=6，求am+n+an+p的值（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x•8y的值

实战演练【解析】（1）原式=am+n+an+p=am•an+an•ap=7×5+5×6=65（2）∵2x+3y﹣4=0，∴2x+3y=4，∴4x•8y=22x•23y=22x+3y=24=163、基本事实：若am=an（a＞0且a≠1，

m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x=27；②2x+2+2x+1=24．【解析】①原方程可化为，2×23x=2723x+1=273x+1=7解得x=2②原方程可化为

，2×2x+1+2x+1=24∴2x+1（2+1）=24∴2x+1=8∴x+1=3解得x=24、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy=．其中正确的关系式的个数有（）A．0个B．1个C．2

个D．3个【解析】由图形可得：①大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确；②小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故x﹣y=n正确；③大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=正确．所以正确的个数为3．故选：D5、如图的图形面积由以下哪

个公式表示（）A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）【解析】大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，∴可以得

到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C6、计算：（1）（）5÷（）3•（）2（2）﹣30﹣（1）2×+13÷（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2（4）（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3

x）（3x+4y）（6）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2【解析】（1）原式=（2）原式=3（3）原式=5（4）原式=6（5）原式=13x2﹣25y2（6）原式=﹣2x2﹣y27、（1）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值（2）a2+2a﹣1=0，求a2+的值【解析

】（1）∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，∴（m+1）xy=±2•6x•5y∴m+1=±60∴m=59或﹣61（2）∵a2+2a﹣1=0∴a﹣=﹣2两边平方

得：（a﹣）2=a2+﹣2=4，则a2+=68、化简求值（1）当x=6，y=时，求（﹣x）9•[（﹣y）3]2•y3的值（2），其中，（3）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a=2，b=1【解析】（1）（﹣x）9•[（﹣y）3]2•y3=﹣x9•y

6•y3的=﹣（xy）9当x=6，y=时，原式=﹣1（2）原式=3x2﹣3x2+xy+xy2﹣y3=xy+xy2﹣y3当x=﹣，y=时，原式=﹣﹣﹣=﹣（3）原式=a2﹣b2+b2﹣2ab=a2﹣2ab当a=2，b=1时，原式=4﹣4=09、若m1，m2，…m2015是从0，1，2

这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为510．【解析】∵（

m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510=505∵m1+m2+…+m2015=152

5∴2的个数为（1525﹣505）÷2=510个课后反击1、已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=（）A．17B．72C．24D．36【解析】B2、当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2m=（am）2；（2）a2m=

（a2）m；（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】B3、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片3张【解析】（a+2b）（a+b）=a2+3ab

+2b2，则需要C类卡片3张，故答案为：34、计算：（1）（2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0（3）（4）【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=-6（4）原式=145、（1）已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）

2的值（2）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求a2+b2+ab的值．【解析】（1）∵4m+n=90，2m﹣3n=10∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2=[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n

）]=（4m+n）（3n﹣2m）=﹣900（2）∵（a+b）2=3，（a﹣b）2=23∴a2+2ab+b2=3①，a2﹣2ab+b2=23②①+②得，2（a2+b2）=26∴a2+b2=13①﹣②得，4ab=﹣20∴ab=﹣5∴a2+b2+ab=13+（﹣5）=86、已知x2﹣2

（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，求m的值．【解析】∵x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式∴m2+5=（m+1）2解得：m=27、化简：（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2）（2）

5a（a2+2a+1）﹣（2a+3）（a﹣5）（3）（4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab【解析】（1）原式=﹣6a3b+4a2b2+8ab3（2）原式==5a3+8a2+12a+15（3）原式=2x﹣4（4）原式=b2﹣2ab8、先化简，再求值：（1）（4ab3﹣

8a2b2）÷4ab+（2a+b）（2a﹣b），其中a=2，b=1（2）已知x=7，求1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009的值【解析】（1）原式=b2﹣2ab+4a2﹣b2=2a（2a﹣b）当a=2，b=1时，原式=2×2×（2×2﹣1）=12（2）1﹣x﹣x（

1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009=（1﹣x）[1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2008]=（1﹣x）（1﹣x）[1﹣x﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2007]=（1﹣x）2010=（1﹣7）2010=620101、【2015•成都】下列计算正确的是（

）A．a2+a2=a4B．a2•a3=a6C．（﹣a2）2=a4D．（a+1）2=a2+1【解析】C2、【2016常州】先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=【解析】（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2=x2﹣2x﹣x+2﹣

x2﹣2x﹣1直击中考=﹣5x+1当x=时，原式=﹣5×+1=﹣3、【2013义乌】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图

1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【解析】（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∴S1=a2﹣b2，S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）=a2

﹣b2S(Summary-Embedded)——归纳总结幂的乘方1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如53()a是3个5a相乘，读作a的五次幂的三次方，()mna是n个ma相乘，读作a的m次幂的n次方。2、幂的乘方的运算性质：()(,mnmnaamn都是正

整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为()(,,pmnmnpaamnp都是正整数）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如3()()nabab、等2、积的乘方的运算性质：()(nnnababn

是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为()(nnnnabcabcn是正整数）重点回顾1、平方差公式：22()()ababab，即两个数的和与这两个数

的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：2222()()ababaababbab。平方差公式的逆用即22()()ababab平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。（2）右边是乘式中两

项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式：222()2abaabb222()2abaabb即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2

倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式：①2222ababab②2222ababab③2222()ababab④22()()4ababab⑤22()()4ababab本节课我学到了我需要努力

的地方是名师点拨学霸经验