【文档说明】《用函数的观点看方程与不等式》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(13)页，2.276 MB，由小喜鸽上传

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1抛物线20yaxbxca与y轴的交点抛物线与y轴必有一个交点0c，.抛物线20yaxbxca与x轴的交点当240bac时，抛物线与x轴有两个不同的交点.当240bac

时，抛物线与x轴有一个交点.当240bac时，抛物线与x轴没有交点.直线0ykxbk（或直线ym或直线xn）与抛物线20yaxbxca的思路导航知识互联网用函数的观点看方程与不等式题型一：方程思想2交点问题，可运用方程思想联立方程2ykxbyaxbxc

（或2ymyaxbxc或2xnyaxbxc）求出方程组的解，从而得到交点坐标.比如抛物线20yaxbxca与x轴的交点联立方程组为20yyaxbxc，其中的12xx，是一元二次方程20

0axbxca的两根，则抛物线与x轴交于两点1200AxBx，，，.【引例】已知关于x的二次函数222134yxmxmm．探究二次函数y的图象与x轴的交点的个数，并写出相应的m的取

值范围.【解析】令0y时，得：2221340xmxmm22214341615mmmm，以下分三种情况讨论：①当0时，方程有两个不相等的实数根，即16150m

∴1516m，此时，y的图象与x②当0时，方程有两个相等的实数根，即16150m∴1516m，此时，y的图象与x轴只有一个交点③当0时，方程没有实数根，即16150m∴1516m，此时，y的图象与x综上所述：当1516m时，y的图象与x轴当

1516m时，y的图象与x当1516m时，y的图象与x轴没有交点．【例1】1.抛物线与x轴的交点.⑴二次函数2yaxbxc与x轴的两个交点坐标为10，、50，，则一元二次方程20axbxc的两根为．⑵已知二

次函数24yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程240xxm的解是．典题精练例题精讲O552yx32.抛物线与直线ym的交点.图中抛物线的解析式为2yaxbxc，根据图象判断下列方程根的情况．⑴方程20axbxc的两根分别为．⑵

方程230axbxc的两根分别为．⑶方程22axbxc的根的情况是．⑷方程24axbxc的根的情况是．3.抛物线与直线0ykxbk的交点⑴直线6yax与抛物线243yxx只有一个交点，则a．⑵当m取何值时，抛物线2yx与直线

yxm：①有公共点；②没有公共点．【解析】1.⑴11x，25x；⑵1215xx，．2.用图象求解⑴12.5x，20.5x⑵23axbxc，直线3y与抛物线只有一个交点，故230axbxc有两个相等实根，121xx

．⑶直线2y与抛物线有两个交点，故原方程有两个不相等的实根．⑷直线4y与抛物线无交点，故原方程无实根．3.⑴10或2；⑵联立方程组2yxyxm即20xxm，若有公共点，140m△≥，解得14m≥；当14m时，没有公共点．【例2】在平面直

角坐标系xOy中，抛物线22ymxmxn与x轴交于A、B两点，点A的坐标为(2,0)．(1)求B点坐标；(2)直线nmxy421经过点B.①求直线和抛物线的解析式；②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为(0,)Dd．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的

其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线nmxy421只有两个公共点时，d的取值范围是．【解析】(1)证明：①当0k时，方程为03x，所以3x，方程有实数根.②当0k时

，0131691216934132222kkkkkkkk所以，方程有实数根综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根(2)令0y，则03)13(2xkkx解关于x的一元二次方程，得31x，kx124∵二次函数

的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴1k(3)由(2)得抛物线的解析式为342xxy配方得122xy∴抛物线的顶点1,2M∴直线OD的解析式为xy21于是设平移后的

抛物线的顶点坐标为（h，21h），∴平移后的抛物线解析式为hhxy212．①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴9212hh，解得41451h．∴当41451≤h＜41451时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点．②当抛物线与直线CD只有一个公共

点时，由方程组hhxy212，92xy．得09212222hhxhx，∴092142222hhh，解得4h．此时抛物线242xy与射线CD唯一的公

共点为3,3，符合题意综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是4h或41451≤h＜41451．【例3】已知关于m的一元二次方程221xmx=0.(1)判定方程根的情况；(2)设m为整数，

方程的两个根都大于1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．【解析】(1)812422mm∵02m∴280.m所以无论m取任何实数，方程221xmx=0都有两个不相等的实数根.MBAODCyx5(2)设221yxm

x．∵2210xmx的两根都在1和32之间，∴当1x时，0y，即：210m．当32x时，0y，即：931022m．∴1213m．∵m为整数，∴210m，，．①当2m时，方程222104812xx，，此时方程的根为无理数，

不合题意．②当0m时，方程2210x，22x，不符合题意．③当1m时，方程212121012xxxx，，，符合题意．综合①②③可知，1m．抛物线20yaxbxca的重要结论0Δx当0a时，图象

落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y.x当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．0Δmx当0a，xm时，则0y；当xm时，则0y.mx当0a，xm时，则0y；当xm时，则0y.思路导航题型二：函数思想60Δnmx当0a

，xm或xn时，则0y；当xm或xn时，则0y；当mxn时，则0y.nmx当0a，xm或xn时，则0y；当xm或xn时，则0y；当mxn时，则0y.【引例】1.如图，函数2yaxbxc的图象如图所示：⑴当x时，0y；⑵当x时，0y；

⑶当x时，0y．2.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点10A，、点30B，和点03C，，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．⑴二次函数的解析式为．⑵当自变量时，两函数的函数值都随x增大而增大．⑶当自变量

时，一次函数值大于二次函数值．⑷当自变量时，两函数的函数值的积小于0．【解析】1.⑴1x或3x；⑵3x或1x；⑶13x．2.⑴223yxx；⑵1x；⑶03x；⑷1x．【例4】⑴下列命题：①若0abc，则

240bac；②若23bac，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；③若240bac，则二次函数2yaxbxc的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．④若bac，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根．正确的是（）A

．②④B．①③C．②③D．③④⑵若m、n（mn）是关于x的方程10xaxb的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（）A．mabnB．amnbC．ambnD．man

b⑶方程2310xx的根可视为函数3yx的图象与函数1yx的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程3210xx的实根0x所在的范围是（）典题精练例题精讲yxO-331-1CBAyx31O7A．

010xB．001xC．012xD．023x【解析】⑴C．⑵A．⑶B．第⑵题提示：1．特殊值法．2．运用法则比大小．3．二次函数图象法．方法一：yxaxb与x轴的交点为xa，xb，把yxaxb的图象向上平移1个单位，得到函数

1yxaxb的图象，此图象与x轴的交点为xm，xn，由图象可得mabn＜＜＜方法二：分析函数1yxaxb可知，当xa时，1y，当xb时，1y，与x轴有两个交点，则图象可得mabn＜

＜＜点评：本题是运用函数思想讨论方程问题，既直观又简捷．起到了简化解题过程和加快解题速度的作用．用函数图象来解决方程问题起到了以形助数的作用．在讨论一元二次方程的解的个数、解的分布情况等问题时借助函数图象可获得直观简捷的解答．【例5

】已知：关于x的方程2240xaxa①有两个实数根是1x、2x（12xx），若关于x的另一个方程220xaxk②的两个实数根都在1x和2x之间．试比较：代数式4k、a、24a之间的大小关系．【解析】方程①、②分

别对应的函数为224yxaxa和22yxaxk，显然这两个函数的图象的对称轴都为xa，即其中一个图象可以通过上下平移得到另一个图象，示意图如图所示：∴4ka，即4ka．再因为方程②有根，则∴2240ak≥，

∴2ak≥∴244ak≥，∴244aka≤．【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2220ymxmxm≠与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线A

B关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在21x这一段位于直线l的上方，并且在23x这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．-1-111xOy8【解析】（1）当0x时，2y.∴(02)

A，抛物线对称轴为212mxm∴(10)B，（2）易得A点关于对称轴的对称点为(22)A，则直线l经过A、B.没直线的解析式为ykxb则220kbkb，解得22kb∴直线的解析

式为22yx（3）∵抛物线对称轴为1x抛物体在23x这一段与在10x这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在21x这一段位于直线l的上方在10x这一段位于直线l的下方；∴抛物线与直线l的交点横坐标为1；当1

x时，2(1)24yx则抛物线过点（-1，4）当1x时，224mm，2m∴抛物线解析为2242yxx.xyOlBA9【例题精讲】针对例2例题精讲【探究对象】二次函数中的“数形结合”.【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交→直线同抛物线相交→直线同

圆相交等情形的深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.【探究1】若点()Pxy，是四边形ABCD边上的点，且P点坐标满足3yxz

，试求z的最小值.分析：很显然3yxz与函数3yx平行，画出函数3yx的图象，若直线3yx平行移动时，可以发现当直线经过点C时符合题意，此时最小z的值等于33【探究2】设二次函数223yxx的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图

象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值.分析：设点C坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意的直线共有三条：分别是经过点A、C的直线l1：33yx

；经过点B、C的直线l2：3yx；经过C点与抛物线相切的直线l3：23yx.【探究3】设抛物线212133yxx与y轴的交点为A，过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.请你结合新图象回答：当直

线13yxb与新图象只有一个公共点P(x0，y0)且07y≤时，求b的取值范围.yxODCBAxyOCBAl2l3l110分析：点A的坐标为(0，1)；数形结合可知，如图所示B点为纵坐标最大时的点，最大值为7；则B点坐标为(6，7)；直线l1：13yxb经过B点时，可

得5b；直线l2：13yxb经过A点时，可得1b；直线l3：13yxb与抛物线相切时，得74b；结合图象可知，符合题意的b的取值范围为15b≤或74b<-【探究4】二次函数2322yxx1的图象与x轴交于点BC，(点B在点C的左侧)

，将二次函数的图象在点BC，间的部分(含点B和点C)向左平移(0)nn个单位后得到的图象记为G，同时将直线46yx向上平移n个单位.请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围.分析：向左平移后得到的图象G的解析式为312yxnxn

1，13nxn≤≤；此时平移后的解析式为46yxn；由图象可知，平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界的交点为B’10n，与C’30n，；直线l1：46yxn经过B’点时，可得23n；直线l2：46yxn

经过C’点时，可得6n；结合图象可知，符合题意的n的取值范围为263n≤≤.(本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n=0，与题意矛盾，故舍去)xyBl3l2l1OAlxl2l1C'B'11【探究5】二次函数24yxx与x

轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为yxb，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.分析：如图所示：①当直线l1经过原点O时与半圆P有两

个交点，即b=0；②当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，如图由题意可得Rt△BPC与Rt△COD都是等腰直角三角形，可得CP=22，∴OD=OC=222；直线l1：yxb经过O点时，可得b=0；直线l2：

yxb与圆相切时，可得222b；结合图象可知，符合题意的b的取值范围为0222b≤【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常

熟悉，根据给出的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，

函数图象的变化趋势，例如：给定一条直线解析式为：22yxxc，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；(5)根据临界图形的函数

解析式求出参数的取值范围。临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：①求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何知识求解；②求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立

方程中，利用消元后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；③过一点(x0，y0)且与抛物线2yaxbxc相切的直线的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式给学生)xyDl2CBl1OAP12题型一方程思想巩固练习【练习1】二次函数20yaxbxca

的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：⑴写出x为何值时，y的值大于0；⑵写出x为何值时，y随x的增大而增大；⑶若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【解析】⑴当31x时，y的值大于0；⑵当1x时，y随x的增

大而增大；⑶由图可知，二次函数2yaxbxc0a的图象与x轴交于点30，，与y轴交于点01.5，，对称轴为1x．由抛物线的对称性可知抛物线20yaxbxca与x轴的另一个交点为10，．∴可列方程组

为931.501.50abab解得121ab∴解析式为21322yxx∵2axbxck，∴20axbxck．∵方程20axbxck有两个不相等的实数根，∴24()

0back．即21314022k．解得2k．【练习2】如图是二次函数2()yxmk的图象，其顶点坐标为14M，．⑴求出图象与x轴的交点A，B的坐标；

⑵在二次函数的图象上是否存在点P，使54PABMABSS△△，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；⑶将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答

：当直线(1)yxbb与此图象有两个公共点时，b的取值范围．【解析】⑴因为14M，是二次函数2()yxmk的顶点坐标，所以22(1)423yxxx令2230xx，解之得121,3xx．∴A，B两点的坐标分别为10A，，30B，复习巩固1.5x

=-1-2-1121-1-2-3yxO13⑵在二次函数的图象上存在点P，使54PABMABSS△△设()pxy，，则122PABSAByy△，又1482MABSAB△，∴5284y，即5y∵二次函数的最小值为

4，∴5y．当5y时，2x或4x．故P点坐标为25，或45，.⑶如图，当直线(1)yxbb经过A点时，可得1.b当直线(1)yxbb经过B点时，可得3.b由图可知符合题意的b的取值范围为31b．题型二函数思

想巩固练习【练习3】⑴不论x为何值时，2yaxbxc永远是正值的条件是（）A．0a，0B．0a，0≥C．0a，0D．0a，0⑵若抛物线2123ymxmxm位于x轴上方，则m的取

值范围是（）A．1mB．32mC．32m≥D．312m⑶二次函数2yaxbxc对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A．0a，0B．0a，0C．0a，0D．0a，0【解析】⑴A；

⑵B；⑶D．【练习4】已知关于x的一元二次方程20axbxc，如果0a，acb，那么方程20axbxc的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．必有一个根为0【解析】A．【练习5】方程2252xxx的正根的个数为（）.A.3B.2C.

1D.0【解析】B.