【文档说明】《垂直模型中的相似及变形》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(14)页，2.649 MB，由小喜鸽上传

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1模型中的相似思路导航知识互联网垂直模型中的相似及变形题型一：模型中的相似2【引例】如图，ABC△是一块锐角三角形余料，边120BCmm，高80ADmm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形P

QMN的边QM在BC上，其余两个顶点PN，分别在ABAC，上．⑴求这个长方形零件PQMN面积S的最大值；⑵在这个长方形零件PQMN面积最大时，能否将余下的材料APNBPQNMC△，△，△剪下再拼成（不计接缝用料及损耗）与长方形PQMN大小一样的长方形？若能，试给出一种拼

法；若不能，试说明理由．【解析】⑴设长方形零件PQMN的边PNaPQx，，则80AEx．∵PNBC∥∴APNABC△∽△，APEABD△∽△∴PNAPBCAB，AEAPADAB∴PNAEBCAD

∴8012080ax，解得31202ax所以长方形PQMN的面积22333120120402400222Saxxxxxx当12040322x时，60a．40602400S最大值（mm2）．所以这个长方

形零件PQMN面积S的最大值是22400mm．⑵∵12120802240002ABCSS△最大值，∴从理论上说，恰能拼成一个与长方形PQMN大小一样的长方形．拼法：作ABC△的中位线PN，分别过P、N作BC的垂线，垂足分别为Q、M，过A作BC的平行线，交QP、MN的延长线于G、H

，易知PBQPAG△≌△，NMCNHA△≌△，所以将PBQNMC△，△剪下拼接到PAGNHA△，△的位置，即得四边形PNHG，此四边形即为与长方形零件PQMN面积最大时大小一样的长方形．【例1】⑴如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方场内的点B，已知

网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离MN=米．典题精练例题精讲ABCDEPMNQHGABCDEPMNQMNOAB3DCBA⑵如右图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高

为1.6米，那么他所住楼房的高度为米．⑶如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得20mBE，10mEC，20mCD，则河

的宽度AB等于A．60mB．40mC．30mD．20m⑷如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFDE于点O，则AODO等于（）A．253B．13C．23D．12⑸如图1，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图2所示的四边形A

BCD．若4AE，3CEBE，那么这个四边形的面积是_____________．EDCBA图2图1【解析】⑴C；⑵48；⑶B；⑷D；⑸163.在RtABC△中，90BAC，ADBC于D，则在这个图形中，我们可以得到3个直角三角形，这3个直角三角形两两相似，即A

BDCADCBA△∽△∽△进而可以得到3组比例关系，这3组比例关系中，有3个比例式比较特殊：⑴BDADADCD；⑵ABBDCBBA；⑶CACDCBCA，这3个比例式转化为乘积式为：⑴2ADBDCD；⑵2ABBDBC；⑶2ACC

DCB，这就是著名的“射影定理”思路导航题型二：模型中的相似ABCDE4BAGFEDC【例2】⑴如图，在RtABC△中，C∠为直角，CDAB于点D，3BC，5AB，写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比．⑵如图，ABC△中，CDAB于D，一定能确定ABC△为直角三角形的条件的

个数是（）①1A∠∠；②CDDBADCD；③290B∠∠；④345BCACAB∶∶∶∶；⑤ACBDACCDA．1B．2C．3D．4⑶如图，CD是RtABC△斜边AB上的高，如果两条直角边43ACBC∶

∶，则ADBD∶．【解析】⑴答案不唯一，ABC△和CBD△，259；⑵C；⑶169∶由题意222ACBCAB，4ACx，3BCx，则5ABx，5ADxBD，又ABCCBD△∽△，BCBDABBC，2BCABBD，235xxBD，95B

Dx，则916555ADxxx，∴16916955ADBDxx∶∶∶．【例3】如图，已知ABC△中，ABAC，BD是AC边上中线，CE是AB边上的中线，且BDCE于G点，GFBC于F点，若22GF，6BC，求AB的长．【解析】连结ED∵BDCEGFBC，，∴2G

FBFFC，即8BFFC，又∵6BFFC，且BFCF则4BF，2FC，∴26BG，23GC，∵BD是AC边中线，CE是AB边中线，∴12EDBCEDBC，∥，∴12EGEDGCBC，∴132EGGC，在RtBEG△中，22224327BEBGGE

，∴33BE，∴63AB．典题精练CDBA21ABDCBADCBAGFEDC5三垂直模型中包括三垂直全等和三垂直相似，在解题的过程中要善于发现和使用，并要学会根据具体情况构造三垂直模型.【引例】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，ABEDEF△∽△，6AB

，9AE，2DE，求EF的长．【解析】∵ABEDEF△∽△∴AEABDFDE，∴962DF，∴3DF；在RtEDF△中，229413EFDFED【例4】⑴如图，梯形ABCD中，ABDC∥，90B，E

为BC上一点，且AEED⊥，若3AB，4BE，8DC，则DE=．⑵如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，1ED，4BD，那么AB．【解析】⑴10；⑵4【例5】⑴如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6

个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为．⑵如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AC、DC上，那么这个正方形的面积

是．【解析】⑴2．典题精练思路导航例题精讲题型三：三垂直的应用FEDCBAEDCBA543FEAFBGCHDCEBDA6⑵2256cm17．抓住相似模型CEFDBE△∽△．CEFDBE△∽△，∴43BDBECEEF设4BDa，3CEa，∴DEa

在RtBDE△中，222BDDEBE221616aa，∴21617a正方形的面积为25617．【例6】⑴等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E

、F.如图，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.⑵如图，梯形ABCD中，AD∥BC，6ABDCAD，70ABC，点EF，分别在线段ADDC，上，且110BEF，若3AE，求DF长．【解析】⑴可证△EBP∽△PCF.

∴BPBECFCP．设BP=x，则(6)8xx．解得124,2xx.∴PE的长为4或23．⑵在梯形OBCD中，AD∥BC，ABDC，70ABC，∴18018070110DAABC∴18011070DFEDEF∵110BEF∴1

8011070AEBDEF∴DFEAEB∴△DFE∽△AEB∴DFEDAEAB即：336DF解得：32DF．BCFDEAFNMEPCBA7【例7】如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EFEC交AB于F，连

结FCABAE．⑴AEF△与ECF△是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．⑵设ABkBC，是否存在这样的k值，使得AEF△与BFC△相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．【解析】⑴相似．在矩形ABCD中，90AD

°．因为EFEC，A、D、E共线，所以90AEFDEC°．又∵90DECDCE°，∴AEFDCE∴AEFDCE△∽△∴EFAFECDE∵AEDE∴EFAFECAE又∵90AFEC°∴AEFECF△∽△⑵存在，由于9018

0AEFAFECFEAFEBFC°°，∴只能是AEFBCF△∽△，AEFBCF．由⑴知AEFDCEECF△∽△∽△，∴30AEFDCEECFFCB°．∴322ABCDCDBCBCDE．即32k．反过来，在32k时，13DE

CD，30DCE°，30AEFDCE°，30ECFAEF°，∴90303030BCFAEF°°°°．∴AEFBCF△∽△．FEDCBA8精讲:相似三角形经典模型总结【探究一】模型介绍：⑴A字型与反A字型；A字型反A字型⑵8字型与反8字型；

8字型反8字型⑶双垂直模型与母子型；双垂直模型母子型⑷三垂直模型与一线三等角模型；三垂直模型一线三等角模型⑸手拉手相似模型；手拉手相似模型9【探究二】模型联系：特殊一般翻折180°平移特殊一般一般翻折180°双垂

直双垂直斜交型斜交型斜交型平行型平行型特殊一边平移翻折180°旋转180°平移∽10训练1.如图，RtABC△中，90BAC，ADBC于D，BE平分ABC交AC于E，EFBC于F．求证：EFDFBCAC∶∶．【解析】由RtABC△，ADBC，EFBC∴

EFAD∥∴ACDCAEDF，即ACAEDCDF又∵ABC△和DAC△中，ACBACB，ABCDAC∴ABCDAC△∽△∴BCACACDC，∴AEBCDFAC∵BE是ABC的平分线，EABA，

EFBC∴AEEF，则EFDFBCAC∶∶训练2.已知：如图，在正方形ABCD中，12AD，点E是边CD上的动点（点E不与端点CD，重合），AE的垂直平分线FP分别交ADAEBC，，于点FHG，，，交AB的延长线于点P．⑴

设(012)DEmm，试用含m的代数式表示FHHG的值；⑵在⑴的条件下，当12FHHG时，求BP的长．【解析】⑴过点H作MNAB∥，分别交ADBC，于MN，两点．∵FP是线段AE的垂直平分线，∴AHEH．∵CDAB∥，∴MHDE∥∵H是AE的中点，∴M是A

D的中点∴MH是ADE△的中位线，∴1122MHDEm．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABNM是矩形．∴12MNAD．∴1122HNMNMHm．∵ADBC∥，∴RtRtFMHGNH△∽△．∴121122mFHMHGHNHm

，即01224FHmmHGm．⑵过点H作HKAB于点K，则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形．∵1242FHmHGm，解得8m．∴118422MHAKm1112128

822HNKBm，6KHAM．思维拓展训练(选讲)FBAEDCGPHFEDCBAGKNMABCDEFHPGPHFENMDCBA11∵RtRtAKHHKP△∽△，∴KHAKKPHK，即2KHAKKP．又∵4

6AKKH，∴264KP解得9KP．∴981BPKPKB．训练3.已知90ABC，2AB，3BC，ADBC∥，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB（如图1所示）．⑴当2AD，

且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；⑵在图1中，连结AP．当32AD，且点Q在线段AB上时，设点BQ、之间的距离为x，APQPBCSyS△△，其中APQS△表示APQ△的面积，PBCS△表示P

BC△的面积，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的范围；⑶当ADAB＜，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小．图3图2图1QPDCBPDCB(Q)AAQPDCBA【解析】⑴∵RtABD△中，2AB，2AD∴1PQADPCAB，45D∴PQPC，即PBP

C，过点P作PEBC于E，如图⑴则1322BEBC而45PBCD322PCPB∴⑵如图⑵，过点P分别作PEBC于E，PFAB于点F.∵90BADPEB，DPBE∴RtRtABDEPB△

∽△∴33224EBADEPAB设3EBk，则4EPk，3PFEBk∴1134622BPCSBCPEkk△BQx,2AQx，∴32122APQkxSAQPF△122

1FLKEDCBALKEDCBA322264APQPBCkxSxySk△△02x≤图（3）图（2）图（1）ABCDPQEFABCDPEFEQPDCB(Q)A⑶答：90证明：如图⑶，过点P分别作PEBC于E，PFAB于点F.∵90B

ADPEB，DPBE∴RtRtABDEPB△∽△∴EBADEPAB又∵PQADPCAB，PFBE∴PQADEBPFPCABPEPE∴RtRtPQFPCE△∽△∴FPQEPC∴90EPCQPEFPQQP

E训练4.等腰直角ABC△中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CECD，过C、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L、K．求证：BLLK．【解析】如图，延长AC至F，使CFCD，连接BF则CECF，于是可证ACEBCF△≌△于是12∵

190F∴290F∴AEBF∴CLKDBF∥∥∴1CDKLCFBL∴BLLK．13题型一模型中的相似巩固练习【练习1】如图，ABC△是一块锐角三角形余料，边长120BC毫米，高80

AD毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【解析】∵四边形PNMQ为正方形∴PNBC∥∴APNABC△∽△设边长为a，AEPNADBC，即8080120aa∴48a（毫米）答：边长为48毫米．题

型二模型中的相似巩固练习【练习2】如图，RtABC△斜边AB上的高为CD，若5BC，12AC，则ACAB，CDAC，ADDB．【解析】1213，513，14425．【练习3】如图，RtABC△中，90BAC，ADBC于D，E是AC上任意

一点，连结BE，过A作AFBE于F，求证：BDBCBFBE．【解析】∵90BAC，ADBC∴90BACADB又ABDABC∴ABDCBA△∽△∴ABBDBCAB，即2ABBDBC

又∵ABE△为直角三角形，AFBE∴90BAEAFB又ABFABE∴FBAABE△∽△∴ABBEBFAB，即2ABBFBE∴BDBCBFBE．【练习4】如图，在RtABC△中，90C∠，4BC，8AC．点D在斜边AB上

，分别作DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DEx，DFy．复习巩固NMPQEDCBACDBABAEDCF14⑴用含y的代数式表示AE为；⑵求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；⑶设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．【解

析】⑴8y；⑵可证ADEABC△∽△∴AEDEACBC∴848xy∴82yx04x⑶228282228Sxxxxx当2x时，S取到最大值为8．题型三三垂直的应用巩固练习【练习5】如图，矩形ABCD中，4AB，8BC，将矩形ABCD绕点C顺时

针旋转90°得到矩形CGEF．点P为线段BC上一点（不包括端点），且APEP，求APE△的面积．GFEDCBAPABCDEFG【解析】如图，设08BPxx，则12PGx．∵APEP，∴90APBEPG°．又90EPGPEG°，

∴APBPEG．又∵90BG．∴ABPPGE△∽△∴ABPGPBEG．即4128xx．解得14x，28x（不符合题意，舍去）．∴4x，即4BP．当4BP时，8PG，∴42AP，82PE，1142823222APESAPPE

△．FEDCBA