【文档说明】《解直角三角形》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(10)页，1.667 MB，由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明：

1在一些几何证明题或者解答题中，往往通过构造直角三角形利用勾股定理、相似或者三角函数来达到解题的目的．【例1】四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小

的锐角为，那么sin．典题精练思路导航解直角三角形题型一：构造直角三角形及三角板拼图2【解析】35（或0.6）【例2】四边形ABCD的对角线ACBD，的长分别为m，n，可以证明当ACBD时（如图1），四边形ABC

D的面积12Smn，那么当ACBD，所夹的锐角为时（如图2），四边形ABCD的面积S．（用含mn，，的式子表示）【解析】1sin2mn.【例3】已知两个不同型号的三角板拼在一起（互不重叠），并且其中的两条边完全重合.⑴这样的拼法共有几种?请分别画出.⑵当两个三角形的斜边重合

时，求出此时四边形对角线夹角的正切值．【解析】⑴如图所示，一共有九种拼法45°30°30°30°45°60°45°30°60°45°30°45°45°30°45°⑵如图，分别过A、D作AFBC，DGBC，垂足为F、G．设CD

a，则2BCa，AFa，∵30CBD°，∴60GCD°，BADC图2ABCD图13∴3sin2DGCDGCDa，2aCG设EFx，∵AFDG∥，∴AEFDEG△∽△∴EFAFEGDG，∴32EGx∵22aaFGFCCGa

∴322axx，∴23xa∴tan2323AFaEFa解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵找出要求解的直角三角形

．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确

度取近似值，注明单位．【例4】某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度

为3米，则旗杆AB的高度为米.【解析】9米．典题精练思路导航题型二：解直角三角形的复杂应用6030ACBD4【例5】如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得74AEP∠，30BEQ∠；在点F处测得60AFP∠，60

BFQ∠，1kmEF．⑴判断AB、AE的数量关系，并说明理由⑵求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：31.73≈，sin740.96≈，cos740.28≈，tan743.49≈，si

n760.97≈，cos760.24≈）【解析】（1）相等，证明：∵30BEQ∠，60BFQ∠，∴30EBF∠，EFBF．又∵60AFP∠，∴60BFA∠．在AEF△与ABF△中，EFBF，AFE

AFB∠∠，AFAF，∴AEFABF△≌∠，∴ABAE．（2）作AHPQ⊥，垂足为H，设AEx，则sin74AHx，cos74HEx，cos741HFx．RtAHF△中，tan60AHHF，∴cos74cos741tan60xx，即0

.960.2811.73xx，∴3.6x≈，即3.6kmAB≈．ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD5MB(临海市)A(滨海市)【例6】随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s，]

（0s≥，0360≤）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正

向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置）（角度精确到度；参考数据：sin490.75，cos370.80，tan370.

75，tan390.80）NPAOyxxyONACPB【解析】⑴[22，45]⑵设在x轴上的C(x，0)处正好截住小球，过A作ABx轴于B．∵机器人和小球速度相同，∴CACP∴22ABBCPOOC，即2

22(2)6xx，解得3.5x，∴C(3.5，0)，∴62.5PCx,1.5BC，∴在RtABC△中，1.5tan0.752BAC∴37BAC，∴1353798NAC，即98，∵2.5ACPC，即2.5s．∴

所下指令为[2.5，98]【例7】如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点M）位于滨海市（记作点A）的南偏西15，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正

以72千米/时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．典题精练题型三：阅读理解6H1B(临海市)A(滨海市)MHT2T1N⑴滨

海市和临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．⑵若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【解析】⑴如图设台风中心运行的路线为射线MN，于是601545AMN，过A作AHMN于H，故AMH△是等腰直角三角形∵612AM，∴6160AH，∴滨海市不会受到

台风的影响；过B作1BHMN于1H，∵603MB，906030BMN∴11603602BH，因此临海市会受到台风的影响；⑵如图以B为圆心60为半径作圆与MN交于12TT、，则1260BTBT，在11RtBTH△中

，113033sin602BTH，∴1160BTH，∴12BTT△是等边三角形，∴1260TT∴台风中心经过线段12TT上所用的时间605726t（小时），因此临海市受到台风侵袭的时间为56小时．7题型一

构造直角三角形及三角板拼图【练习1】公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得10BCCD米，120BC，45A．请你求出这块草地的面积．DCBAABCDE【解析】延长DCAB、交于E，连结DB，∵120ABCBCD

，∴60EBCECB，∴EBC△是等边三角形，∵DCCB，∴30CDBDBC，∴90DBA，103BD，∵45A，∴103AB，∴211031502ABDS△，11110103253222BCDBDESS△△，∴这块草地

的面积为150253平方米．【练习2】我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形ABCD分割成大小不同的七个相似直角三角形．按从大到小的顺序编号为①至⑦，从而割成一副“三角七巧板”．已知线段1AB，BAC．

⑴请用的三角函数表示线段BE的长；⑵图中与线段BE相等的线段是；⑶仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长（用的三角函数表示）．【解析】⑴sin⑵DF⑶由⑴、⑵知sinDFBE由题意易得DFGADFCAB∴DGHDFG在RtDFG△中

∵sinDGDFGDF，sinDF∴2sinDG在RtDGH△中∵sinDHDGHDG，2sinDG∴3sinDH题型二解直角三角形的复杂应用【练习3】如图，水坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽6mAD，坡面82mCD，AB的坡度为1:3，135ADC

，求水坝的横截面积．复习巩固⑦⑥⑤④③②①HGFEDCBA8DCBAFEABCD【解析】过AD、分别作AEBCDFBC、，垂足为EF、．则90AEBADFDFC，由135ADC，∴45CDF，且四边形ADFE是矩形，∴6mADEF，AEDF在R

tCDF△中，90DFC，45CCDF，∴2sin45828m2DFCFCD，∴8mAE，在RtABE△中，由AB的坡度为1:3，则30B，∴3883mtan303AEBE，∴8368(1483)mBCBEEFCF

，∴211(61483)8(80323)m22ABCDSADBCAE梯形．答：水坝的横截面积为(80323)平方米．【练习4】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北

偏东60方向上，港口D在港口A北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入

海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【解析】连结AC、AD

、BC、BD，延长AT，过B作BTAT于T，AC与BT交于点E．过B作BPAC于点P．由已知得90BAD，30BAC，32575AB（海里），在BEP△和AET△中，90BPEATE，AETBEP，∴30EBPEAT．∵6

0BAT，∴30BAP，从而17537.52BP（海里）．∵港口C在B处的南偏东75方向上，∴45CBP．9在等腰RtCBP△中，75222BCBP（海里），∴BC．BAD△是直角三角形，∴BDAB

．综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，则据题意应有7525(48)5260x，解不等式，得202x（海里）．答：此船应转向沿南

偏东75的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时202海里，能保证船在抵达港口前不会沉没．题型三阅读理解【练习5】在例题6的第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2

2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为．【解析】设在x轴上的C(x，0)处正好截住小球，过A作ABx轴于B，∵小球速度为机器人的22，∴2CACP∴222()ABBCPOOC，即222(2)2(6)xx，解得4x，（增根16x舍去）．∴(4C，0)，∴2

BC，在RtABC△中，tan1BAC，∴45BAC，∴90NAC，即90∵22AC，22s，∴所下指令为[22，90]xyONACPB10【测试1】如图，在RtABC△中，90ACB，AB，沿ABC△的中线CM将CMA△折叠，使点A落在

点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为（）．【解析】33【测试2】在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30方向走了250米到达目的地C点，则A、C两地之间的距离为（）A．2503米B．5003米C．2505米

D．5005米【解析】C【测试3】如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30，测得旗杆底部C的俯角为60，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．【解析】过点A作AEBC，垂足为E，得矩形ADCE，∴12C

EAD．RtACE△中，∵60EAC，12CE，∴43tan60CEAE．RtABE△中，∵30BAE，tan304BEAE．∴16mBCCEBE．答：旗杆的高度为16m．课后测DMBCA东北CBA30°60°