【文档说明】高中物理必修第二册《3 向心加速度》教学设计-统编人教版.doc，共(16)页，733.500 KB，由小喜鸽上传

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3．向心加速度1．理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向。2．掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。1.匀速圆周运动的加速度方向(1)向心加速度的定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向□01圆心，我们把它叫作向心加速度。(2)向

心加速度的方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向□02圆心，与该点的线速度方向□03垂直。向心加速度的方向时刻在□04改变。(3)向心加速度的作用效果：向心加速度只改变速度的□05方向，不改变速度的□06大小。2．匀速圆周运动的加速度大小(1)向心加速度的大小：an＝

□07ω2r。根据v＝ωr可得an＝□08v2r。(2)向心加速度的物理意义：向心加速度是描述线速度□09方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了□10向心加速度的大小。判一判(1)做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。()(2)做匀速圆周运动的物体的加速

度总指向圆心。()(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。()(4)可以用公式a＝v2r求变速圆周运动中的加速度。()提示：(1)√做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的。(2)√做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据

牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3)×做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。(4)×变速圆周运动中，向心加速度an＝v2r，而加速度为向心加速度an与切向加速度at的矢量和。想一想荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，

当秋千向下荡时，请思考：(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？(2)加速度指向悬挂点吗？运动过程中，公式an＝v2r＝ω2r还适用吗？提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周

运动。(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，加速度不指向悬挂点。公式an＝v2r＝

ω2r仍然适用。课堂任务匀速圆周运动的加速度方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图所示，小球做匀速圆周运动时，小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：小球的速度方向不断发生变化，所

以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用。活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么？合力有什么特点？提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。活

动3：根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？提示：小球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，小球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改

变。2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。例1(多选)关于向心加速度，以

下说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加

速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度方向为________。提示：始终指向圆心[规范解答]向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向

则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正

确，C错误。[完美答案]ABD对向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。[变式训练1

]下列说法中正确的是()A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B

正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。课堂任务匀速圆周运动的加速度大小仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？提示：物块所受的合外力即为F，

根据牛顿第二定律，a＝Fm。活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？提示：竖直方向：Tcosθ＝mg，水平方向：Tsinθ＝Fn，Fn＝mgtanθ，方向时刻指向圆心O。活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球

的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？提示：能。an＝Fnm＝gtanθ。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1．向心加速度的大小(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝Fnm＝ω2r。(2)向心加速度

的几种表达式：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝ωv。(3)向心加速度与半径的关系①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由an-r图像可以看出：向心加速度

an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。(4)向心加速度的注意要点①向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。②向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。③无论是

匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。2．用运动学的方法求向心加速度的方向和大小(1)Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图

体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与线速度的关系。结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。(2)向心加速度的方向：由于Δv指向圆心，由加速度定义a＝ΔvΔt可知，加速度总是与Δv的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。(3)向心加速度的大小：先作出做匀速圆周

运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以∠AOB＝∠CBD，故等腰△AOB和△CBD相似，根据对应边成比例可得：rvA＝ABΔv，由于时间t很短，故弦长AB近似等于

弧长AB︵，而弧长AB︵＝vA·Δt，所以rvA＝vA·ΔtΔv，又an＝ΔvΔt，故an＝v2Ar。由于v＝ωr，代入an＝v2Ar可得an＝ω2r。3．常见匀速圆周运动的实例例2如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大

轮边缘上A点的向心加速度是12cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为R3的C点的向心加速度大小是多少？(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？提示：需要涉及公式an＝v2r、an＝ω2r，通过抓住相同量比较不同量。(2)A、B两点有什么物理量相同

？A、C两点有什么物理量相同？提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。[规范解答]大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝v2R和aB＝v2r得aB＝RraA

＝24cm/s2＝0.24m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·R3得aC＝aA3＝4cm/s2＝0.04m/s2。[完美答案]0.24m/s20.04m/s21.传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用1皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an

＝v2r。2同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。2.求向心加速度的两种角度1动力学角度：an＝Fnm。2运动学角度：an＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r。[变式训练2－1]如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动

轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A．1∶2∶3B．2∶4∶3C．8∶4∶3D．3∶

6∶2答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a＝v2r，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a＝ω2r，可得aB∶aC＝r2∶r3＝

2∶1.5。由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。[变式训练2－2]在温哥华冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面

的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力大小。答案3g2G解析对申雪受力分析如图所示，其中θ＝30°，mg＝G，F为所受拉力。水平方向：Fcosθ＝ma。竖直方向：Fsinθ＝mg。由以上两式得：向心加速度的大小为a＝gcotθ＝3g

。拉力大小F＝mgsinθ＝2G。A组：合格性水平训练1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在变速圆周运动中

，向心加速度的方向不指向圆心答案A解析无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。2．(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A．由an＝v2r可知，an

与r成反比B．由an＝ω2r可知，an与r成正比C．由v＝ωr可知，ω与r成反比D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关

系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。3.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A的图线为双曲线的一个分支，由图可知()A．A物体运动的线速度大小

不变B．A物体运动的角速度大小不变C．B物体运动的角速度大小不变D．B物体运动的角速度与半径成正比答案AC解析因为A的图线为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝v2r可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而B的图线为过原点的直线，说明a与r成

正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。4．(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A．大小为

v2rB．大小为g－v2rC．方向在水平面内D．方向在竖直面内答案AC解析根据an＝v2r可知A正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。5.(传动装置中的向心加速度)如图所示，

两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()A．anC＝anD＝2anEB．anC＝2anD＝2anEC．anC＝anD2＝2anED．anC＝anD2＝anE答案C解析C、

E两点同轴转动，角速度相等，由an＝ω2r，有anCanE＝2，即anC＝2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D两点的线速度大小相等，由an＝v2r，有anCanD＝12，即anC＝12anD，故选C。6.

(综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同C．线速度vP＞vQ＞vRD．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同答案C解析

圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确；由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B

错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。7.(综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是()A．A、B两点具有相同的角速度B．A、B两点具有相同的线速度C．A、B两点的向心加速度的方

向都指向球心D．A、B两点的向心加速度之比为21答案A解析A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为

R，则A运动的半径rA＝Rsin60°，B运动的半径rB＝Rsin30°，vAvB＝ωrAωrB＝sin60°sin30°＝31，B错误；aAaB＝ω2rAω2rB＝31，D错误。8.(综合)如图所示，甲、乙两物体自同一

水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)答案98π2g解析设乙下落

到A点所用时间为t，则对乙，满足R＝12gt2，得t＝2Rg，这段时间内甲运动了34T，即34T＝2Rg①又由于an＝ω2R＝4π2T2R②由①②得，an＝98π2g。B组：等级性水平训练9．(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮(齿未

画出)，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的()A．角速度之比为2∶1B．向心加速度之比为1∶2C．周期之比为1∶2D．转速之比为2∶1答案B解析根据两轮边缘线速度大小相等，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝v2r，得向心加

速度之比为aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正确；由T＝2πrv，得周期之比为TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由n＝ω2π，得转速之比为nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D错误。10．(综合)(多选)如图所示，偏心轮的转轴为O，以O为圆心的圆内切于

偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且AP⊥OB于P，则下列说法中正确的是()A．A、B的角速度大小相等B．A、B的线速度大小相等C．A、B的向心加速度大小之比为2∶1D．A、B的向心加

速度大小之比为5∶3答案AD解析A、B两点同轴转动，故二者角速度相等，A正确；由图可知A、B的转动半径之比为5∶3，由线速度v＝ωr可知A、B的线速度大小不相等，故B错误；根据向心加速度a＝ω2r，可得A、B的向心加速度大小之比为5∶3，故C错

误，D正确。11．(传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比()A．线

速度之比为1∶4B．角速度之比为4∶1C．向心加速度之比为8∶1D．向心加速度之比为1∶8答案D解析由题意知va＝v3，v2＝vc，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，v2＝2v3，所以va∶vc＝1∶2，A错误。ωaωc＝varavcrc＝14，B错误。

设轮4的半径为r，则aa＝v2ara＝0.5vc22r＝v2c8r＝18ac，即aa∶ac＝1∶8，C错误，D正确。12.(综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1m，则下列说法正确的是()A．小物块

运动的角速度为2rad/sB．小物块做圆周运动的周期为πsC．小物块在t＝π4s内通过的位移大小为π20mD．小物块在πs内通过的路程为零答案AB解析因为an＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝anR＝2rad/s，周期

T＝2πω＝πs，A、B正确；小物块在π4s内转过π2弧度，通过的位移大小为2m，在πs内转过一周，通过的路程为2πm，C、D错误。13.(向心加速度和向心力的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，质量为50kg的滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0m的14光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在

C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10m/s。求他到达C点前瞬间的加速度大小和对轨道的压力大小。(不计各种阻力，g取10m/s2)答案50m/s23000N解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a＝v2r

＝1022m/s2＝50m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上。重力和轨道的支持力的合力提供向心力，FN－mg＝ma，故FN＝3000N，由牛顿第三定律可知，FN′＝3000N。