【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.7《三角函数的应用》导学案-2019人教A版.doc，共(17)页，681.500 KB，由小喜鸽上传

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5.7三角函数的应用课标要求素养要求1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.教材知识探究温州市区著名景点——江心屿

，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天

的时间与水深的关系表：江心屿时间0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.55问题1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？提示1

.水深随时间的变化呈周期变化.2.若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.1.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.理清三角函数模型的物理意义是解决问题的关键(1))A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运

动的物体离开平衡位置的最大距离；(2)简谐运动的周期是T=2πφ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式f=1T=φ2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；(4)ωx＋

φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.)2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，

然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.教材拓展补遗[微判断]1.数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.(√)2.某实验室一天的温度(单位：℃)随时

间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，t∈[0，24).则实验室这一天的最大温差为4℃.(√)[微训练]1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋π3，则

当t＝1200s时，电流I为________A.解析I＝5sinπ2＋π3＝5cosπ3＝2.5(A).答案2.52.振动量y＝2sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________.解析∵T＝23，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.答

案3πx－π3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.解析因为单摆运动的周期为T＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1s.答案1[微思考]1

.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？提示三角函数模型.2.在建模过程中，散点图的作用是什么？提示利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因

盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.题型一已知三角函数图象解决应用问题根据物理意义确定A，ω，φ【例1】已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个

周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解(1)由题图知A＝300，设t1＝－1900，t2＝1180，则周期T＝2(t2－t1)＝2

1180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.又当t＝1180时，I＝0，即sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I＝300sin150π

t＋π6.(2)依题意，周期T≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.规律方法已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值

范围.【训练1】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移.解(1)设振幅为A，则2A＝20cm，所以A＝10cm.设周期为T，则T2＝0.5s，

所以T＝1s，所以f＝1Hz.(2)振子在1s内通过的路程为4A，故在5s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).5s末物体处在B点，所以它的位移为0cm.题型二已知三角函数解析式解决应用问题【例2】一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的

位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6).(1)画出它一个周期的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？③小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T＝2π2

π＝1(秒).列表：t01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin(2πt＋π6)360－603描点画图：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3厘米.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.③小球来回摆动一次需要1秒(即周

期).规律方法在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝1T＝ω2π称为

简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.【训练2】已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4，16].(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，

那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解(1)x∈[4，16]，则π8x－5π4∈－3π4，3π4.由函数解析式易知，当π8x－5π4＝π2，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30℃，当π8x－5π4＝－π2，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10

，即最低温度为10℃，所以最大温差为30－10＝20(℃).(2)令10sinπ8x－5π4＋20＝15，可得sinπ8x－5π4＝－12，而x∈[4，16]，所以x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25，

可得sinπ8x－5π4＝12，而x∈[4，16]，所以x＝343.故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时).题型三建立确定的三角函数模型【例3】如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8m

，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.解(1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂

线BM交ON于点M.当π2<θ≤π时，∠BOM＝θ－π2.h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sinθ－π2；当0≤θ≤π2，π<θ≤2π时，上述解析式也适合.则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sinθ－π2.(2)点在⊙O上逆时针运动的

角速度是2π60＝π30，∴t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝4.8sinπ30t－π2＋5.6，t∈[0，＋∞).规律方法面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.【训练3】如

图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是()A.h＝8cosπ6t＋10B.h＝－8cosπ3t＋10C.h＝－8sinπ6t＋10D.h＝－8

cosπ6t＋10解析由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C.答案D题型四三角函数模型的拟合【例4】下表是某地某年月平均气温(华氏)：月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.

964.753.539.827.7以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据；(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？①yA＝cosπx6；②y－46A＝cos

πx6；③y－46－A＝cosπx6.解(1)如图.(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，故T2＝7－1＝6，所以T＝12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.(3)因为x＝月份－1，所以不妨

取x＝2－1＝1，y＝26.0.代入①，得yA＝26.025.8>1≠cosπ6，故①不适合；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8<0≠cosπ6，故②不适合.所以应选③.规律方法根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解

决实际问题.【训练4】一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0

－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，又由4sinφ＝－4.0，得sinφ＝－1，取φ＝－π2，则y＝4sin5π2t－

π2，即y＝－4cos5π2t.答案y＝－4cos5π2t一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.2.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现

象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.二、素养训练1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin2t＋π2，则当t＝0时

，角θ的大小及单摆的频率是()A.12，1πB.2，1πC.12，πD.2，π解析当t＝0时，θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知，单摆的周期为2π2＝π，故单摆的频率为1π，故选A.答案A2.已知简谐振动的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点0，34，则

该简谐振动的频率和初相是()A.16，π6B.18，π6C.18，π3D.16，π3解析由题意可知，A＝32，32＋T22＝52，则T＝8，ω＝2π8＝π4，∴y＝32sinπ4x＋φ.由图象过点0，34得32sinφ＝34，

∴sinφ＝12，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，因此频率是18，初相为π6，故选B.答案B3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是()A.[

0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]解析由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[

10，，5π]，故选C.答案C4.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋π4)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为___

_____.解析A＋60＝80得A＝20，且150πω＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为1120.答案11205.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π

2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动________次.解析据I＝52sin(100πt－π2)知ω＝100πrad/s，该电流的周期为T＝2πω＝2π100π＝0.02s，则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为n＝2·tT＝2×0.50.02s＝5

0(次).答案50基础达标一、选择题1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5B.6C

.8D.10解析由题意可知当sin(π6x＋φ)取最小值－1时，函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，∴y＝3sin(π6x＋φ)＋5，当sin(π6x＋φ)取最大值1时，函数取最大值ymax＝3＋5＝8.答案C2.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()

A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时速度最大D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大解析由图形可知振幅为5，故选B.答案B3.已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<π2的图象经过点(0，1

)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T＝6，φ＝π6B.T＝6，φ＝π3C.T＝6π，φ＝π6D.T＝6π，φ＝π3解析由题意知f(0)＝2sinφ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，T＝2ππ3＝6.故选A.答案A4.如图所示，设点A

是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()解析设AP所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sinα2，即有d＝f(l)＝2sinl2.答案C

5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9

500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A.10000元B.9500元C.9000元D.8500元解析因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当

x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取3π2，φ可取π，即y＝500sin3π2x＋π＋9500.当x＝

3时，y＝9000.答案C二、填空题6.简谐运动y＝12sin(π8x－2)的频率f＝________.解析f＝π82π＝116.答案1167.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(c

m)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60].解析将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60

.答案10sinπt608.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，„，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为______

__℃.解析由题意得a＋A＝28，a－A＝18，∴a＝23，A＝5，∴y＝23＋5cosπ6（x－6），当x＝10时，y＝23＋5×－12＝20.5.答案20.5三、解答题9.

将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ωrad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.(1)求气针(P)的

纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；(2)当φ＝π6，r＝ω＝1时，作出其图象.解(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线.∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝2πω.(2)当φ＝π6，r＝ω＝1

时，y＝sint＋π6，如图，其图象是将y＝sint的图象向左平移π6个单位长度得到.10.如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P

与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.解(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处.这时此人所转过的角为2π30t＝π15t

，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sinπ15t＋12(t≥0).(2)由10sinπ15t＋12≥17，得sinπ15t≥12，则52≤t≤252.故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.能力提升11.已知某海滨浴场海浪的高

度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线

可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动

？解(1)由表中数据知周期T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1，∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1>1，∴cosπ6t>0，∴2kπ－π2

<π6t<2kπ＋π2，k∈Z，即12k－3<t<12k＋3，k∈Z.①由于8≤t≤20，∴令k＝1，得9≤t≤5.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.12.为迎接夏季旅

游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发

生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角

函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知

这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且－A＋B＝10

0，A＋B＝500，解得A＝200，B＝300.根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，故sin2×π6＋φ＝－1，且sin8×π6＋φ＝1.又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)＝200sinπ6x－5π6＋300.(2)由条件可知，200sinπ6x－5π6＋300≥400，化简得sinπ6x－5π6≥12kπ＋π6≤π6x－5π6≤2k

π＋5π6，k∈Z，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x＝6，7，8，9，10.即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.