【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第四课时《二倍角的正弦、余弦、正切公式》导学案-2019人教A版.doc，共(14)页，737.500 KB，由小喜鸽上传

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第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式课标要求素养要求1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用.在二倍角公式的推导中，经历由特殊到一般的

逻辑推理过程，发展学生的数学运算素养.教材知识探究金刚石晶体的碳－碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？研究表明，金刚石碳－碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队

列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用.大自然真是神秘奇妙呀！问题1.“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么样的数学关系？2.我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角三角函数公式？如何推导

？提示1.倍角关系.2.能.例如在两角和的余弦公式中，用α代替β，即α得到cos2α＝cos2α－sin2α.二倍角的正弦、余弦、正切公式恰当地理解“倍数”关系，能帮助快速解题三角函数公式简记正弦sin2α＝2sin__αcos__αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2c

os2α－1＝1－2sin2αC2α正切tan2α＝2tanα1－tan2αT2α以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.教材拓展补遗[微判断]1.sinα＝2sinα2cosα2.(√)2.

cos2α＝12(1＋cos2α)，cos3α＝1－2sin232α.(√)3.2tanπ41－tan2π4＝tanπ2.(×)提示公式中所含各角都要使三角函数有意义，而tanπ2无意义.4.sin2π12－cos2π12＝32.(×)提示sin2π12－cos2π12＝

－cos2π12－sin2π12＝－cosπ6＝－32.5.1－sin24°＝cos12°－sin12°.(√)[微训练]1.sinπ8cosπ8的值为________.解析sinπ8cosπ8＝12sinπ4＝24.答案2

42.cos2π6－sin2π6的值为________.解析cos2π6－sin2π6＝cosπ3＝12.答案123.2tan15°1－tan215°＝________.解析2tan15°1－tan215°＝tan30°＝33.答案334.函数y＝sin2x－cos2x的最小正周期为_______

_.解析y＝sin2x－cos2x＝－(cos2x－sin2x)＝－cos2x，∴T＝π.答案π5.α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则sin2α＝________.解析∵sinα＋cosα＝33，∴

1＋2sinαcosα＝13，∴sin2α＝－23.答案－23[微思考]1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成立吗？提示sin2α，cos2α中α为任意角，tan2α中，2α≠kπ＋π2即

α≠kπ2＋π4，k∈Z.2.sin2α，cos2α，tan2α的公式中，2α是α的倍角，角α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？提示角α不一定是具体角，也可为角的关系式，二倍角只是相对的，如4α是2α

的二倍，α是α2的二倍，2α＋π3是α＋π6的二倍.题型一给角求值问题构造倍角公式的形式是关键【例1】求下列各式的值.(1)1－2sin2750°；(2)1－tan222.5°tan22.5°；(3)cos20°·cos40°·

cos80°.解(1)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝1tan22.5°1－tan222.5°＝22tan22.5°1－tan222.5°＝2tan45°＝2.(3)原式＝12sin20°2

sin20°cos20°cos40°cos80°＝12sin20°·sin40°cos40°cos80°＝122sin20°sin80°cos80°＝123sin20°·sin160°＝sin20°23sin20°＝18.规律方法二倍角公式的关注点(

1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角；α是α2的二倍角，3α是3α2的二倍角等.(2)公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝t

an2α.(3)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异.【训练1】(1)12－cos2π8＝________；(2)sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.解析(1)原式＝12(1－2cos2π8)＝－12cosπ4＝－24

.(2)sin6°sin42°sin66°sin78°＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝2cos6°sin6°cos48°cos24°cos12°2cos6°＝2sin12°cos12°cos

48°cos24°4cos6°＝2sin24°cos24°cos48°8cos6°＝2sin48°cos48°16cos6°＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116.答案(1)－24(2)116题

型二给值求值问题【例2】(1)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C.1D.1625(2)已知cosα＋π4＝35，π2≤α<3π2，则cos2α＋π4的值为________.(3)已知sin

π4－x＝513，0<x<π4，则cos2xcosπ4＋x的值为________.解析(1)原式＝cos2α＋4sinαcosα＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.(2)∵cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，又cos

(α＋π4)＝35>0，∴3π2<α＋π4<7π4，∴sin(α＋π4)＝－1－cos2（α＋π4）＝－45，从而cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－2425，si

n2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝725.∴cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.(3)∵0<x<π4，sin(π4－x)＝513，∴π4－x∈(0

，π4)，cos(π4－x)＝1213，利用诱导公式，sinπ4＋x＝cosπ2－π4＋x＝cosπ4－x＝1213.∴原式＝sinπ2＋2xcosπ4＋x＝2sinπ4＋xcosπ4＋xcos

π4＋x＝2sinπ4＋x＝2413.答案(1)A(2)－31250(3)2413规律方法解决给值求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到π4±x这样的角时可

利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.【训练2】设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________.解析∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，∴sin2α

＋π3＝sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425，cos2α＋π3＝cos2α＋π6＝2cos2

α＋π6－1＝2×452－1＝725，∴sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α＋π3cosπ4－cos2α＋π3sinπ

4＝22×2425－725＝22×1725＝17250.答案17250题型三三角函数式的化简与证明【例3】求证：3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.证明∵左边＝3－4cos2

A＋2cos22A－13＋4cos2A＋2cos22A－1＝1－cos2A1＋cos2A2＝2sin2A2cos2A2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边，∴3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.规律方法探究三角函数式

化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化；(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；(3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用；(4)利用角与角之间

的隐含关系，如互余、互补等；(5)利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等.【训练3】求证：1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.

证明原式变形为1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，(*)而(*)式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝sin2θcos2θ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ

＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.一、素养落地1.通过对公式的正用、逆用、变形用可以发散学生思维、开阔视野，能进一步提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.2.倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于

2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍„„这里蕴含着换元思想.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.3.在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①

1＋cos2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos2α2，③1－cos2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos2α2.二、素养训练1.已知cosx＝34，则cos2x＝()A.－14B.14C.－18D.18解析cos2x＝2cos2x－1＝2×3

42－1＝18，故选D.答案D2.已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A.－79B.－29C.29D.79解析sin2α＝2sinαcosα＝（sinα－cosα）2－1－1＝－79.答案A3.1＋cos36°等于()A.2sin

18°B.2cos18°C.cos18°－sin18°D.sin18°－cos18°解析1＋cos36°＝2cos218°＝2cos18°.答案B4.已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝()A.－53B.－19C.

19D.53解析cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－19.答案B5.cos4π8－sin4π8的值为()A.0B.22C.1D.－22解析原式＝cos2π8－sin2π8cos2π8＋sin2π8＝cosπ4＝22.故选B.答案B基

础达标一、选择题1.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32C.54D.1＋34解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.答案C2.若sin

α＝13，则cos2α＝()A.89B.79C.－79D.－89解析cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79，故选B.答案B3.化简tan14°1－tan214°·cos28°的结果为()A.12sin28°B.sin28°C.2sin28°D.sin14°cos28°解析原式＝12tan

28°·cos28°＝12sin28°，故选A.答案A4.设sinα＝13，2π<α<3π，则sinα2＋cosα2＝()A.－233B.233C.43D.－33解析∵sinα＝13，∴sinα2＋cosα22＝1＋sinα＝43.又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sinα

2＋cosα2＝－233.答案A5.已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是()A.459B.259C.－459D.－259解析设底角为θ，则θ∈0，π2，顶角为π－2θ.∵sinθ＝53，∴cosθ＝1

－sin2θ＝23.∴sin(π－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×53×23＝459.答案A二、填空题6.已知函数f(x)＝sinx＋π6cosx＋π6的值域为________.解析f(x)＝12sin2x＋π3∈

－12，12.答案－12，127.若2±3是方程x2－5xsinθ＋1＝0的两根，则cos2θ等于________.解析由题意得5sinθ＝4，即sinθ＝45，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×1625＝－725.答案－

7258.已知tanx＝2，则tan2x－π4的值为________.解析tan2x－π4＝tan2x－π2＝sin2x－π2cos2x－π2＝－cos2xsin2x＝－1tan2x＝－1－tan2x2tanx＝

4－12×2＝34.答案34三、解答题9.化简下列各式：(1)11－tanθ－11＋tanθ；(2)2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.解(1)原式＝（1＋tanθ）－（1－tanθ）（1－tanθ）（1＋tanθ）＝2tanθ1－tan2θ＝tan2

θ.(2)原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π2－π4－α＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcos

π4－α＝cos2αsin2×π4－2α＝cos2αcos2α＝1.10.已知角α在第一象限且cosα＝35，求1＋2cos（2α－π4）sin（α＋π2）的值.解∵cosα＝35且α在第一象限，∴sinα＝45.∴cos2

α＝cos2α－sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，原式＝1＋2（cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4）cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝145.能力提升11.已知sinx2

－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2xcos5π4＋xsin（π＋x）的值.解(1)由sinx2－2cosx2＝0，知cosx2≠0，∴tanx2＝2，∴tanx＝2tanx

21－tan2x2＝2×21－22＝－43.(2)由(1)，知tanx＝－43，∴cos2xcos5π4＋xsin（π＋x）＝cos2x－cosπ4＋x（－sinx）＝cos2x－sin2x22cosx－22sinxsinx＝（cosx－sinx）

（cosx＋sinx）22（cosx－sinx）sinx＝2×cosx＋sinxsinx＝2×1＋tanxtanx＝24.12.已知cosπ4＋αcosπ4－α＝－14.(1)求cos2α的值；(2)求cos4α的值.解

(1)∵cosπ4＋αcosπ4－α＝－14，∴cosπ4＋αsinπ2－π4－α＝－14，∴cosπ4＋αsinπ4

＋α＝－14，∴12sinπ2＋2α＝－14，∴cos2α＝－12.(2)cos4α＝2cos22α－1＝2·－122－1＝－12.