【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.5.3《函数模型的应用》导学案-2019人教A版.doc，共(15)页，582.000 KB，由小喜鸽上传

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4.5.3函数模型的应用课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.教材知识探究爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，

40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么

要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%.问题五期后的本利和是多少？提示解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1

＋r)x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b

，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝f（x）（x<m），g（x）（x≥m）教材拓展补遗

[微判断]1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.(×)提示两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.(×)提示函数模型中定义域必须满足实际意义.

3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)提示拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.[微训练]1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一

个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A.y＝log2xB.y＝2xC.y＝x2D.y＝2x解析逐个检验可得答案为B.答案B2.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25

%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451).解析设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14(1＋1.25%)x－2014>20，x－2014>lg107lg8180＝1－lg74lg3－3lg2－1

≈28.7，则x>2042.7，即x＝2043.答案2043[微思考]1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？提示k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小.2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性

？提示当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.题型一一次函数、二次函数、分段函数模型【例1】某市“网约车

”的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：

km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.解(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝

8（0<x≤2），8＋1.9（x－2）（2<x≤10），8＋1.9×8＋2.85（x－10）（10<x≤60），＝8（0<x≤2），4.2＋1.9x（2<x≤10），2.85x－5.3（10<x≤60）.(2)只乘一辆车的车费为f(

16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘2辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).因此40.3>38.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.规律方法1.利用二次函数求最值的方法及

注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.2.应用分段函数时的三个注意点(1)

分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练1】某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝

400x－x2，0≤x≤200，x∈N，40000，x>200，x∈N，其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少

元？(总收入＝总成本＋利润)解(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，∴f(x)＝－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，30000－100x，x>200，

x∈N.(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以当x＝150时，有最大值12500；当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数，f(x)<30000－100×200<12

500.所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元.题型二指数函数、对数函数模型【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝12log3θ100，单

位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时①，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s②，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？①将函数式中的θ换为900求解v；②游速提高1m/s的意思是函数值的差值为1.解(1

)由v＝12log3θ100可知，当θ＝900时，v＝12log3900100＝12log39＝1(m/s).所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.(2)由v2－v1＝1，即12log3θ2100－12log3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗

氧量的单位数为原来的9倍.规律方法指数型、对数型函数问题的类型及解法(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.(2)对数函数模型：y＝

mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论.【训练2】一片森林原来面积为a，

计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为a2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后

最多还能砍伐多少年？解(1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝12，解得p%＝1－12110.(2)设经过m年森林面积为22a，则a(1－p%)m＝22a，即12m10＝1212，得m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.(

3)设从今年开始，n年后森林面积为22a·(1－p%)n，令22a(1－p%)n≥14a，即(1－p%)n≥24，12n10≥1232，得n10≤32，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年.题型三建立拟合函数模

型解决实际问题解决此类问题通常要绘制散点图，由图象的结构特征去判断选择所要拟合的函数类型【例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.年序最大积雪深度x(

cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反

映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，

b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝

2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则当x＝25时，y＝2.2＋1.8×25＝47.2

，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.规律方法建立拟合函数与预测的基本步骤【训练3】某企业常年生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2013年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.5

87.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝log12x＋a.找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2013年和2015年的数据求出相应的解析式.解最适合的函数模型是

f(x)＝ax＋b，理由如下.若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合.若模型为f(x)＝log12x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合.由已知得a＋b＝4，3

a＋b＝7，解得a＝32，b＝52.所以f(x)＝32x＋52，x∈N.一、素养落地1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养，通过建立函数模型解决实际问题提升数据分析素养.2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决

实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.二、素养训练1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变

化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A.分段函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案A2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.y＝0.9576x100B.y＝(0.9576)

100xC.y＝0.9576100xD.y＝1－0.0424x100答案A3.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123„y138„则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()A.y＝2x－1B.y＝x2－1C.y＝2x－1D.y＝1.5

x2－2.5x＋2解析将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.答案D4.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.解析设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270

，∴0.12a＝270，解得a＝2250.∴每台彩电的原价为2250元.答案22505.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品

平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1

680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴当x＝210时，R(x)max＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元).∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.基础达标一、选择题1.下表是函数值y随自变量x变化的一

组数据，它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型B.幂函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模

型.答案A2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y＝2tB.y＝2t2C.y＝t3D.y＝log2t解析由题图知，该函数可能是y＝log2t.故选D.答案D3.某杂志能以每本1.20元的价格销

售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为()A.0.5元B.0.8元C.1元D.1.1元解析设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.20－x×0.1)元，卖出(1

2＋4x)万本，设总销售收入为y万元，则y＝(1.20－0.1x)(12＋4x)＝－0.4x2＋3.6x＋14.4(x∈N*)，要使y≥20，即x2－9x＋14≤0，解得2≤x≤7，当x＝7时，价格最低，为1.20－0.7＝0.5(元).答案A4.某新款电视投放市

场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A.y＝100xB.y＝50x2－

50x＋100C.y＝50×2xD.y＝100x解析将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.答案C5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发

奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析设第x年的研发奖金为200万元，则由

题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝2013，∴x＝log1.122013＝log1.1220－log1.1213＝lg20lg1.12－lg13lg1.12＝（lg2＋lg10）－（lg1.3＋lg10）lg1.12≈0

.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.答案B二、填空题6.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后

这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确是________(填序号).解析由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产.答案②③7.在不考虑空气阻力的情况下

，火箭的最大速度vm/s和燃料质量Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v＝2000ln1＋Mm，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.解析由题意2000ln

1＋Mm＝12000.∴ln1＋Mm＝6，从而Mm＝e6－1.答案e6－18.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718„为自然对数的底数

，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.解析由已知条件得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e2

2k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24.答案24三、解答题9.物体在常温下的温

度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·12th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡

降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1.04，lg2≈0.30)解由题意知40－24＝(88－24)·1220h，即14＝1220h，解得h＝1

0.故T－24＝(88－24)·12t10.当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·12t10，即12t10＝1164.两边取对数，求得t≈25.因此，约需要25min，可降温到35℃.10.某公司试销某种“上海世博会”纪念

品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元.(1)试求a的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每

天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.(2)∵销

售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x－16000＝－10(x－50)2＋9000，故当x＝50时，W取最大值9000，即每件销售价为50元时，每天获得的

利润最大，最大利润是9000元.能力提升11.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励.记奖金为y(

单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解(1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润

的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励，∴当0≤x≤8时，y＝0.15x；当x>8时，y＝1.2＋log5(2x－15).∴奖金y关于销售利润x的关系式为y＝0.15x，0≤x≤8，1.2＋log5（2x－15），x>8.(

2)由题意，1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20，故小江的销售利润是20万元.12.某地区为响应上级号召，在2015年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5

%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域.(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(

1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；„经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*).(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0，x∈N*)的图象，

如图所示.作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值.因为8<x0<9，则取x0＝9，即经过9年

后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.