【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.4.2第2课时《单调性与最值》学案-2019人教A版.docx，共(13)页，274.767 KB，由小喜鸽上传

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第2课时单调性与最值学习目标1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．知识

点正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上单调递增，在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上单调递减在[2kπ－π，2kπ](k

∈Z)上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1思考正弦函数在定义域

上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？答案不正确．正弦函数在每个闭区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是

减函数，并不是在整个定义域上是减函数．预习小测自我检验1．函数y＝2cosx＋1的值域为________．答案[－1,3]2．函数y＝sinx取最大值时x＝________.答案π2＋2kπ，k∈Z3．函数y＝sinxπ6

≤x≤π的值域为________．答案[0,1]4．函数y＝－cosx的单调递减区间是________；单调递增区间是________．答案[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)一、求正弦、余弦

函数的单调区间例1求函数y＝2sinx－π3的单调区间．解令z＝x－π3，则y＝2sinz.∵z＝x－π3是增函数，∴y＝2sinz单调递增(减)时，函数y＝2sinx－π3也单调递增(

减)．由z∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，即x∈2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，故函数y＝2sinx－π3的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．同理可求函数y＝2s

inx－π3的单调递减区间为2kπ＋5π6，2kπ＋116π(k∈Z)．延伸探究求函数y＝2sinπ4－x的单调递减区间．解y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，而函数y＝－2sinz的单调递

减区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．∴原函数递减时，得－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)．∴原函数的单调递减区间是－π4＋2kπ，3π4＋2kπ(

k∈Z)．反思感悟求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，

即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．跟踪训练1求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos2x；(2)y＝sin

π6－x，x∈π2，2π.解(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，所以函数y＝cos2x的单调递增区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．(2)因为y＝sinπ6－x＝－sinx－π6，

所以函数y＝sinπ6－x的单调递增区间就是函数y＝sinx－π6的单调递减区间，由2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋2π3≤x≤2kπ＋5π3，k∈Z.因为x∈π2，2π，所以所求函数的单调递增区间为2π3，5π3

.二、三角函数值的大小比较例2比较下列各组中函数值的大小：(1)cos－235π与cos－174π；(2)sin194°与cos160°.解(1)cos－235π＝cos－6π＋75π＝cos75π，co

s－174π＝cos－6π＋74π＝cos74π，∵π<75π<74π<2π，∴cos75π<cos74π，即cos－235π<cos－174π.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝co

s(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°.∴sin194°>cos160°.反思感悟比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一

单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．跟踪训练2比较大小：(1)cos－7π8与cos7π6；(2)sin74与cos53.解(1)cos－7π8＝cos7π8＝cosπ－π8＝－cosπ8，而cos7π6＝－cosπ6，∵0<π8<π6<π2，∴c

osπ8>cosπ6.∴－cosπ8<－cosπ6，∴cos－7π8<cos7π6.(2)∵cos53＝sinπ2＋53，π2<74<π2＋53<32π，又y＝sinx在π2，3π2上是减函数，∴sin74>sinπ2＋53＝cos53，即sin74>

cos53.三、正弦、余弦函数的最值(值域)例3求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.解(1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，因为函数y＝cosx在区间π6，2

π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)y＝cos2x－4cosx＋5，令t＝cosx，则－1≤t≤1.y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1，函数取得最大值10；t＝1时，函数取得

最小值2，所以函数的值域为[2,10]．反思感悟求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数

的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝s

inx(或cosx)的有界性．跟踪训练3(1)函数y＝2cos2x＋π6，x∈－π6，π4的值域为________．(2)函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值

域为________．答案(1)[－1,2](2)1，72解析(1)∵x∈－π6，π4，∴2x＋π6∈－π6，2π3，∴cos2x＋π6∈－12，1，∴函数的值域为[－1,2]．

(2)令t＝sinx，∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1.∴f(t)＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，t∈12，1，且该函数在12，1上单调递增．∴f(t)的最小值为f

12＝1，最大值为f(1)＝72.即函数f(x)的值域为1，72.正弦、余弦函数的对称性典例函数y＝sin2x＋π3的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．答案x＝k2π＋π12(k∈Z)k2π－π6，0(k∈Z)解析根据正弦函数的周期

性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．要使sin2x＋π3＝±1，必有2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，所以x＝k2π＋π12(k∈Z)，即对称轴方程

为x＝k2π＋π12(k∈Z)，而函数y＝sin2x＋π3的图象与x轴的交点即为对称中心，所以令y＝0，即sin2x＋π3＝0，所以2x＋π3＝kπ(k∈Z)，即x＝k2π－π6(k∈Z)，故函数y＝si

n2x＋π3的图象的对称中心的坐标为k2π－π6，0(k∈Z)．[素养提升]正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余

弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.1．函数y＝－cosx在区间－π2，π2上是()A．增函数B．减函数C．先减后增函数D．先增后减函数答案C解析因为y＝cosx在区间－π2，π2上先增后减，所以y＝－cosx在区间

－π2，π2上先减后增．2．正弦函数y＝sinx，x∈R的图象的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π答案C解析当x＝π2时，y取最大值，∴x＝π2是一条对称轴．3．y＝cosx－π4在[0，π]上的单调递减区间为()A.π4，3π

4B.0，π4C.3π4，πD.π4，π答案D4．下列关系式中正确的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．s

in168°<cos10°<sin11°考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案C解析∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°

.∴由正弦函数的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.5．函数y＝3cos12x－π4在x＝________时，y取最大值．答案4kπ＋π2(k∈Z)解析当函数取最大值时，12x－π4

＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z)．1．知识清单：(1)正弦、余弦函数的最大(小)值；(2)正弦、余弦函数的单调性；(3)正弦、余弦函数的对称性；(4)比较大小．2．方法归纳：整体思想，换元思想．3．常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sinx，cosx本身具有的范围限制

．1．函数f(x)＝sinx＋π6的一个单调递减区间是()A.－π2，π2B．[－π，0]C.－23π，23πD.π2，23π答案D2．下列不等式中成立的是()A．sin－π8>sin－

π10B．sin3>sin2C．sin75π>sin－25πD．sin2>cos1答案D解析∵sin2＝cosπ2－2＝cos2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos2－π

2>cos1，即sin2>cos1.故选D.3．当－π2≤x≤π2时，函数f(x)＝2sinx＋π3有()A．最大值1，最小值－1B．最大值1，最小值－12C．最大值2，最小值－2D．最大值2，最小值

－1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案D解析因为－π2≤x≤π2，所以－π6≤x＋π3≤5π6，所以－12≤sinx＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2.4．函数y＝2sinωx＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为()A.

kπ－3π4，kπ＋π4(k∈Z)B.2kπ－3π4，2kπ＋π4(k∈Z)C.kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)D.2kπ－3π8，2kπ＋π8(k∈Z)答案C解析周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴y＝2sin2x＋π4.由－π2

＋2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－38π≤x≤kπ＋π8，k∈Z.5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π8对称，则φ可能是()A.π2B．－π4C.3π4D.π4答

案D解析由题意，当x＝π8时，f(x)＝sin2×π8＋φ＝±1，故π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)．当k＝0时，φ＝π4，故φ可能是π4.6．sin470°________cos760°(填“>”“<”或“＝”)．答案>解析sin470°＝sin110°＝co

s20°>0，cos760°＝cos40°>0且cos20°>cos40°，所以sin470°>cos760°.7．函数y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递增区间为________．答案π2，π解析因为sin

(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递增区间，即求y＝sinx在－π2，π上的单调递减区间，易知为π2，π.8．函数y＝13sinπ3－x(x∈[0，π])的单调递增区间为__

______．答案5π6，π解析y＝－13sinx－π3，∵x∈[0，π]，∴－π3≤x－π3≤2π3.要求函数的单调递增区间，则π2≤x－π3≤2π3，即5π6≤x≤π.∴y＝13sinπ3－x(x∈[0，π])的单调递增区间为5π6，π.9．已

知函数f(x)＝2cosπ3－2x.(1)若f(x)＝1，x∈－π6，π4，求x的值；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)根据题意cosπ3－2x＝12，因为π3－2x＝2kπ±π3(k∈Z)，而x∈－

π6，π4，故x＝0.(2)f(x)＝2cos2x－π3，令－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z，解得－π3＋kπ≤x≤kπ＋π6，k∈Z，从而f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．10．已知函数f(x)＝2cos3x

＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．解(1)令2kπ－π≤3x＋π4≤2kπ(k∈Z)，解得2kπ3－5π12≤x≤2kπ3－π12(k∈Z)．∴f(

x)的单调递增区间为2kπ3－5π12，2kπ3－π12(k∈Z)．(2)当3x＋π4＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.即x＝2kπ3－5π12(k∈Z)时，f(x)取最小值－2.11．函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈π3，2π3的最小值是()A．－13

B.154C．0D．－14答案D解析令t＝cosx，x∈π3，2π3，∴t∈－12，12，y＝3t2－4t＋1＝3t－232－13.∵y＝3t－232－13在t∈－12，12上单调递减，∴当t＝12，即x＝π3时，ymin＝3×

122－4×12＋1＝－14.12．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2]答

案A解析取ω＝54，f(x)＝sin54x＋π4，其减区间为85kπ＋π5，85kπ＋π，k∈Z，显然π2，π⊆85kπ＋π5，85kπ＋π，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin2x＋π4，其减区间为kπ＋π8，kπ＋58π，k∈Z，

显然π2，π⊈kπ＋π8，kπ＋58π，k∈Z，排除D.13．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的最大值与最小值之和为____．答案2π解析由图可知，b－a的最

大值为13π6－5π6＝4π3，b－a的最小值为3π2－5π6＝2π3.所以最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π.14．函数y＝sin2x＋sinx－1的最大值为________，最小值为________．答案1－54解析令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝

t＋122－54(－1≤t≤1)，显然－54≤y≤1.15．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<π2与函数g(x)＝cosωx－π6(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则φ＝______

__.答案π3解析∵两函数图象具有相同的对称中心，∴它们的周期相同，∴ω＝2.令2x＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－φ2(k∈Z)，即f(x)的图象的对称中心为kπ2－φ2，0(k∈Z)．令2x－π6＝k′π＋π2(k′∈Z)，则x＝k

′π2＋π3(k′∈Z)，即g(x)的图象的对称中心为k′π2＋π3，0(k′∈Z)．又g(x)，f(x)的图象的对称中心相同，则kπ2－φ2＝k′π2＋π3(k，k′∈Z)，即φ＝(k－k′)

π－2π3(k，k′∈Z)，又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.16．已知ω是正数，函数f(x)＝2sinωx在区间－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围．解由－π2＋2kπ≤ωx≤π2＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得－π2ω＋2kπω≤x≤π2ω＋2kπω，∴f(x)的单调递增区间是－π

2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω，k∈Z.根据题意，得－π3，π4⊆－π2ω＋2kπω，π2ω＋2kπω(k∈Z)，从而有－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0解得0<ω≤32.

故ω的取值范围是0，32.