【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.2.2《同角三角函数的基本关系》导学案-2019人教A版.doc，共(15)页，618.500 KB，由小喜鸽上传

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5.2.2同角三角函数的基本关系课标要求素养要求1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域

热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看

来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？蝴蝶效应提示sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sin

αcosα(α≠kπ＋π2，k∈Z).1.同角三角函数的基本关系注意角的范围描述方式基本关系基本关系式语言描述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系tan__α＝sinα

cosα(α≠kπ＋π2，k∈Z)同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切2.同角三角函数基本关系式的变形公式的熟练程度决定解题的速度(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα

的变形公式：sinα＝cos__αtan__α；cosα＝sinαtanα.教材拓展补遗[微判断]1.sin2α＋cos2β＝1.(×)提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.2.sin2θ2＋cos2θ2＝1.(√)3.对

任意的角α，都有tanα＝sinαcosα成立.(×)提示当α＝π2＋kπ，k∈Z时就不成立.4.若sinα＝12，则cosα＝32.(×)提示cosα＝±32.[微训练]1.下列四个结论中可能成立的是()A.sinα＝12且cosα＝12B

.sinα＝0且cosα＝－1C.tanα＝1且cosα＝－1D.α是第二象限角时，tanα＝－sinαcosα解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立

，而A，C，D都不成立.答案B2.若α∈0，π2且sinαcosα＝1225，则sinα＋cosα＝_________________________.解析(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝1＋2425＝4925，又∵α∈

0，π2，sinα>0，cosα>0，∴sinα＋cosα＝75.答案753.若2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝－1，则tanα＝________.解析原式可化为2tanα－34tanα－9＝－

1.则tanα＝2.答案2[微思考]同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？提示平方关系对任意角都成立，商数关系只有当α≠kπ＋π2(k∈Z)时成立.题型一同角三角函数的基本关系及简单应用【例1】已知cosα＝－817，

求sinα，tanα的值.解∵cosα＝－817<0，∴α是第二或第三象限角，(1)当α是第二象限角时，则sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517－81

7＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝158.规律方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角

函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.【训练1】已知tanα＝43，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值.解由tanα＝sinαcosα＝43，得sinα＝43cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝92

5.又α是第三象限角，∴cosα＝－35，sinα＝43cosα＝－45.题型二三角函数式的化简【例2】化简：注意弦切互化，尽量减少函数名称(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°；(3)si

n2αtanα＋cos2αtanα＋2sinαcosα.解(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα＝sinα（1－sinα）－sinα（1＋sinα）（1＋sinα）（1－sinα）＝－2sin2α1－sin

2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝（cos10°＋sin10°）2cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos

10°＋sin10°＝1.(3)原式＝sin2α·sinαcosα＋cos2α·cosαsinα＋2sinαcosα＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2αsinαcosα＝（sin2α＋cos2α）2sinαcosα＝1sinαcosα规律

方法三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin

2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.【训练2】化简2cos2α－11－2sin2α＋(1＋tan2α)cos2α.解原式＝2cos2α－（sin2α＋cos2α）sin2α＋cos2α－2sin2α＋1＋sin2αcos2αcos2α＝cos2

α－sin2αcos2α－sin2α＋cos2α＋sin2αcos2α·cos2α＝1＋1＝2.题型三三角函数式的求值方向1弦切互化求值【例3－1】已知tanα＝2.(1)求sinα－3cosαsinα＋cosα的值；(2

)求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值.解(1)法一(代入法)∵tanα＝2，∴sinαcosα＝2，∴sinα＝2cosα.∴sinα－3cosαsinα＋cosα＝2cosα－3cosα2cosα＋cosα＝－13.法二(弦化切)∵tanα＝2.sinα－3cosα

sinα＋cosα＝sinαcosα－3sinαcosα＋1＝tanα－3tanα＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝2sin2α－sinαcosα＋cos2αsin2

α＋cos2α＝2tan2α－tanα＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.规律方法已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值的方法(1)对只含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数的商数

关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(2)对于形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα或asin2α＋bsinαcosα＋ccos2αdsin2α＋esinαcosα＋fcos2α

的分式，分子、分母同时除以cosα，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.(3)对于形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如asin2α＋

bsinαcosα＋acos2αsin2α＋cos2α的式子求值.方向2sinα±cosα型求值问题注意判断符号【例3－2】已知sinθ＋cosθ＝12(0<θ<π)，求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值.解因为sinθ＋cosθ＝12(

0<θ<π)，所以(sinθ＋cosθ)2＝14，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝14，所以sinθcosθ＝－38.由上知，θ为第二象限的角，所以sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ＝122－4×

－38＝72.规律方法已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθco

sθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－co

sθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.【训练3】(1)已知sinα＋cosα＝713，α∈(0，π)，则tanα＝________.(2)已知2cos2α－3sinαcosα＝910，则tanα＝________.解析(

1)∵sinα＋cosα＝713，∴(sinα＋cosα)2＝49169，即2sinαcosα＝－120169<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，∴α∈(π2，π)，故sinα－cosα＝（sinα＋cosα）2－4sinαcosα＝1713，可得sinα＝121

3，cosα＝－513，tanα＝－125.(2)由题中等式易知cosα≠0，则2cos2α－3sinαcosα＝2cos2α－3sinαcosαsin2α＋cos2α＝2－3tanα1＋tan2α＝9

10，整理得9tan2α＋30tanα－11＝0，即(3tanα－1)(3tanα＋11)＝0，解得tanα＝13或tanα＝－113.答案(1)－125(2)13或－113题型四三角恒等式的证明方向1一般恒等式的证明【例4

－1】求证：1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝tanα＋1tanα－1.证明法一左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝（sinα＋cosα）2sin2α－co

s2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝右边.所以等式成立.法二右边＝sinαcosα＋1sinαcosα－1＝sinα＋cosαsinα－cosα＝（sinα＋cosα）2（

sinα－cosα）（sinα＋cosα）＝1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝左边.所以等式成立.规律方法证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对

地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明ab＝cd，可证ad＝bc，或证db＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”.方向2条件恒等式的证明【例4－2】已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α

－1.证明因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.所以sin2αcos2α＋1＝2(sin2βcos2β＋1)，通分可得1cos2α＝2cos2β，即cos2β＝2cos

2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.规律方法含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论；(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数

问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.【训练4】(1)求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα；(2)已知cos4Acos2B＋sin4Asin2B＝1，求证cos4Bcos2A＋sin4Bsin2A＝

1.证明(1)∵右边＝tan2α－sin2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tan2α－tan2αcos2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tan2α（1－cos2α）（tanα－sinα）tan

αsinα＝tan2αsin2α（tanα－sinα）tanαsinα＝tanαsinαtanα－sinα＝左边，∴原等式成立.(2)设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.由cos4Acos2B＋sin4Asin2B

＝1，得（1－m）21－n＋m2n＝1，即(m－n)2＝0.∴m＝n，∴cos4Bcos2A＋sin4Bsin2A＝（1－n）21－m＋n2m＝1－n＋n＝1.一、素养落地1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数

学抽象、逻辑推理和数学运算素养.2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，sin8αcos8α＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和

“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.二、素养训练1.若cosα＝－45，且α是第二象限角，则tanα的值等于()A.34B.－34C.43D.－43解析由题意可得sinα＝1－cos2α＝35，∴tanα＝sinαcosα＝－34.答案B2.已知cos(α－2π)＝－8

17，α为第二象限角，则sinα＝()A.1517B.－1517C.±1517D.±815解析∵cos(α－2π)＝cosα＝－817，又α为第二象限角，∴sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517

，故选A.答案A3.若α∈0，π6且sin3α＝13，则cos3α＝()A.－223B.223C.－13D.23解析∵α∈0，π6，∴3α∈0，π2，∴cos3α>0，∴cos3α＝1－sin23α＝1－1

9＝223.答案B4.已知sinαcosα＝38，且π4<α<π2，则cosα－sinα的值是()A.12B.－12C.14D.－14解析∵π4<α<π2，∴sinα>cosα，cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－1－2sinαcosα＝－1－2×38＝－

12.答案B5.已知sinα＋cosαsinα－cosα＝2，计算下列各式的值：(1)3sinα－cosα2sinα＋3cosα；(2)sin2α－2sinαcosα＋1.解由sinα＋cosαsinα－cosα＝2

，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.(1)原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.(2)原式＝sin2α－2sinαcosαsin2α＋cos2α＋1＝tan2α－2tanαtan2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝13

10.基础达标一、选择题1.化简1－sin2160°的结果是()A.cos160°B.±|cos160°|C.±cos160°D.－cos160°解析1－sin2160°＝cos2160°＝|cos160°|＝－cos160°.答案D2.已知sinα－cosα＝－54，则sinα·cosα等于

()A.74B.－916C.－932D.932解析因为sinα－cosα＝－54，平方可得1－2sinαcosα＝2516，所以2sinαcosα＝－916，即sinαcosα＝－932.答案C3.已知

sinα＝45，且α为第二象限角，则tanα＝()A.－43B.－34C.34D.43解析∵sinα＝45，α为第二象限角，∴cosα＝－35，∴tanα＝－43.答案A4.已知α是三角形的一个内角，且sinα

＋cosα＝23，那么这个三角形的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析∵sinα＋cosα＝23，∴(sinα＋cosα)2＝49，即1＋2sinαcosα＝49，∴sinα·cosα＝－518<0，∴α∈

π2，π.答案B5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是()A.14B.12C.1D.32解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.答案C二、填空题6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.解

析(1＋tan215°)cos215°＝1＋sin215°cos215°·cos215°＝cos215°＋sin215°cos215°·cos215°＝1.答案17.已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝________.解析∵tanα＝2，∴si

nα＝2cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝15，又∵α∈π，3π2，∴cosα＝－55.答案－558.已知cosα＝－35，且tanα>0，则sinαcos2α1－sinα＝________.解析由cosα<0，tanα>0知α是第三象

限角，且sinα＝－45，故原式＝sinαcos2α1－sinα＝sinα（1－sin2α）1－sinα＝sinα(1＋sinα)＝(－45)(1－45)＝－425.答案－425三、解答题9.已知tanα＝2，求下列代数式的值：(1)4sinα－2c

osα5cosα＋3sinα；(2)14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2α.解(1)原式＝4tanα－25＋3tanα＝4×2－25＋3×2＝611.(2)原式＝14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋13tan

α＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.10.求证：2sinxcosx－1cos2x－sin2x＝tanx－1tanx＋1.证明法一∵左边＝2sinxcosx－（sin2x＋cos2x）cos2x－sin2x＝－（sin2x－

2sinxcosx＋cos2x）cos2x－sin2x＝（sinx－cosx）2sin2x－cos2x＝（sinx－cosx）2（sinx－cosx）（sinx＋cosx）＝sinx－cosxsinx＋cosx＝ta

nx－1tanx＋1＝右边.∴原等式成立.法二∵右边＝sinxcosx－1sinxcosx＋1＝sinx－cosxsinx＋cosx；左边＝1－2sinxcosxsin2x－cos2x＝（sinx－c

osx）2sin2x－cos2x＝（sinx－cosx）2（sinx－cosx）·（sinx＋cosx）＝sinx－cosxsinx＋cosx.∴左边＝右边，原等式成立.能力提升11.已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两个根分别为

sinθ和cosθ，θ∈0，π2.(1)求sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)求m的值.解(1)由题意，得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2，所以sinθ1－1tanθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsi

nθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝2＋32，所以sinθcosθ＝34，由(1)

，知m2＝34，所以m＝32.此时Δ＝(3＋1)2－4×2×32＝(3－1)2>0，∴m＝32符合题意.12.(1)分别计算cos4π6－sin4π6和cos2π6－sin2π6，cosπ3的值，你有什么发现？(2)计算cos4π4－sin4π4，cos2π4－sin2

π4，cosπ2的值，你有什么发现.(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.(4)推测x∈R，cos2x－sin2x与cos2x的关系，不需证明.(1)解cos4π6－sin4π6＝cos2π6

＋sin2π6cos2π6－sin2π6＝cos2π6－sin2π6＝34－14＝12＝cosπ3.(2)解cos4π4－sin4π4＝cos2π4＋sin2π4cos2π4－sin2π4＝cos2π4－sin2π4＝12－12

＝0＝cosπ2.(3)证明cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.(4)解推测cos2x－sin2x＝cos2x.