【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.2.1第一课时《三角函数的定义》导学案-2019人教A版.doc，共(12)页，323.000 KB，由小喜鸽上传

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5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念第一课时三角函数的定义课标要求素养要求1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.能利用定义解决相关问题.通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.教材知识探究如图所示是

光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.问题1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过

了t秒呢？2.如图所示建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？提示1.30秒时h＝h0＋R·sin30°＝h0＋12R；45

秒时h＝h0＋Rsin45°，t秒时h＝h0＋Rsint°.2.能，sinα＝yP，cosα＝xP，tanα＝yPxP，改变终边上点的位置，比值不会改变.1.任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单

位圆交于点P(x，y)圆心在坐标原点，半径为1的圆为单位圆定义正弦y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x正切yx叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝yx(x

≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域(1)正弦函数y＝sinx的定义域为R；(2)余弦函数y

＝cosx的定义域为R；(3)正切函数y＝tanx的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}.教材拓展补遗[微判断]1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(×)提示角的三角函数值与点在终边上的位置无关.2.若角α终边过点(1，3)，则sinα＝310

10.(√)3.终边在x轴上的角的正切值不存在.(×)提示终边在y轴上的角的正切值不存在.[微训练]1.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________.解析易知r＝32＋（－4

）2＝5，所以sinα＝－45，cosα＝35，故sinα＋cosα＝－15.答案－152.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝35，则tanα＝________.解析∵cosα＝332＋y2＝35，∴32＋y2＝5.∴y2＝16，∵y<0，

∴y＝－4，∴tanα＝－43.答案－43[微思考]1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边

的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.2.若两个角α，β的正弦值相等，那么α＝β吗？提示不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.题型一三角函数定义的应用【例1－1】在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点

A的纵坐标为35，求tanα.解由题意，设点A的坐标为(x，35)，所以x2＋(35)2＝1，解得x＝45或－45.当x＝45时，角α在第一象限，tanα＝3545＝34；当x＝－45时，角α在第二象限，tanα＝35－45＝－34.规律方

法首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.【例1－2】已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＝________.解析易知角α的终边在第一象限或第三象限，当角α的终边在第一象限时，角α的终边与单位圆的交点P的坐标为22，22，则sinα＝2

2；当角α的终边在第三象限时，角α的终边与单位圆的交点P′的坐标为－22，－22，则sinα＝－22.综上可知，sinα＝22或sinα＝－22.答案±22规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的

终边为射线还是应分两种情况处理.【训练1】(1)已知角α的终边经过点(－32，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.解析因为(－32)2＋(－12)2＝1，所以点(－32，－12)在单位圆上，由三角函数的定义

知sinα＝－12，cosα＝－32，tanα＝33.答案－12－3233(2)利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值.解如图所示，2π3的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝32，|OB|

＝12，则P－12，32.所以sin2π3＝32，cos2π3＝－12，tan2π3＝32－12＝－3.题型二利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值【例2】已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin__α＋cos__α的值.在求r时应注

意r＝|OP|>0.解r＝（－3a）2＋（4a）2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在

第四象限，sinα＝4a－5a＝－45，cosα＝－3a－5a＝35.所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.规律方法(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P(

x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝yr，cosα＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【训练2】已知角α

的终边经过点P(5m，12)，且cosα＝－513，则m＝________.解析r＝（5m）2＋122＝25m2＋144，cosα＝5mr＝－513<0，∴m<0，m25m2＋144＝－113，解

得m＝－1.答案－1一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.二、素养训练1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意

义的是()A.tanαB.sinαC.cosαD.都有意义解析由三角函数的定义sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，可知tanα无意义.答案A2.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cosα为()A.1B.－1C.22D.－

22解析∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋（－1）2＝2，∴cosα＝xr＝12＝22.答案C3.若角α的终边过点(5，12)，则cosα－sinα＝()A.513B.713C.－713D.

－513解析由题意知r＝52＋122＝13，所以，cosα＝513，sinα＝1213，所以，cosα－sinα＝－713，故选C.答案C4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是___

_____.解析由三角函数的定义可知sinαa＋2>0，cosα≤a－9≤0，∴－2<a≤3.答案(－2，3]5.已知角α的终边在射线y＝3x(x>0)上，求角α的正弦、余弦和正切值.解设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则x2＋y2＝

1，又y＝3x(x>0)，解得x＝12，y＝32.于是sinα＝y＝32，cosα＝x＝12，tanα＝yx＝3.基础达标一、选择题1.已知角α的终边与单位圆交于点－32，－12，则sinα的值为()A.－32B.－12C

.32D.12解析由定义知r＝1，∴sinα＝－12，故选B.答案B2.已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A.－15B.3715C.3720D.1315解析∵P(3，－4)，∴r＝5，∴sinα＝－45＝－45，cosα＝35，∴sinα＋1cosα＝－45

＋53＝1315，故选D.答案D3.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A.－114B.114C.－4D.4解析cosα＝mm2＋9＝－45，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去).答案C4.点

P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A.－12，32B.－32，－12C.－12，－32D.－32，12解析由题意知α＝2π3，则2π3的终边与单位圆的交点坐标为

－12，32，故选A.答案A5.角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且m2＋n2＝10，则m－n等于()A.2B.－2C.4D.－4解析由题意知n＝3m，m2＋n2＝10，n<0m2＝1，m<0，∴m＝－1，

n＝－3.∴m－n＝2，故选A.答案A二、填空题6.已知α的终边过点(－1，3)，则tanα＝________.解析tanα＝yx＝3－1＝－3.答案－37.已知点M是单位圆上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－22，则tan

α＝________.解析设M(x，y)，∵r＝1，∴sinα＝y＝－22，∴x2＝1－y2＝1－12＝12，∴x＝±22，∴tanα＝yx＝±1.答案±18.已知角α的终边经过点(－4，m)且cosα

＝－45，则sinα＝________.解析∵r＝16＋m2，∴cosα＝－416＋m2＝－45，∴m＝±3.∴sinα＝±35.答案±35三、解答题9.已知角α的终边上一点P(－3，y)，y≠0，且

sinα＝24y，求cosα，tanα的值.解由sinα＝y（－3）2＋y2＝24y，得y2＝5，所以y＝±5.当y＝5时，cosα＝－3（－3）2＋y2＝－64，tanα＝sinαcosα＝－153；当y＝－

5时，cosα＝－3（－3）2＋y2＝－64，tanα＝sinαcosα＝153.10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.解当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P

到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sinα＝yr＝－35＝－35，cosα＝xr＝45，tanα＝yx＝－34.所以sinα－3cosα＋tanα＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|O

P′|＝5，所以sinα＝yr＝35，cosα＝xr＝－45，tanα＝yx＝3－4＝－34.所以sinα－3cosα＋tanα＝35－3×－45－34＝35＋125－34＝94.能力提升11.若角θ的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0).(1)求t

anθ的值.(2)求sinθ＋cosθ的值.解(1)tanθ＝3a－4a＝－34.(2)∵θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，∴r＝16a2＋9a2＝5|a|，当a>0时，r＝5a，∴sinθ＝35，cosθ＝－45，∴sinθ＋cosθ＝－15.当a<0时，r＝－5a

，∴sinθ＝－35，cosθ＝45，∴sinθ＋cosθ＝15.12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等

边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，23π，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.解(1)由题意可得B－45，35，根据三角函数的定义得tanα＝yx＝－34.(2)若△AOB为等边三角形

，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为ββ＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，23π，则S扇形＝12αr2＝12α，而S△AOB＝12×1×sinα＝12sinα，故弓形AB的面积S＝S扇形－S△AOB＝12α－12sinα，α∈

0，23π.