【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.1.2《弧度制》导学案-2019人教A版.doc，共(14)页，852.500 KB，由小喜鸽上传

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5.1.2弧度制课标要求素养要求1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积

公式.1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.教材知识探究摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间

分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(AndersCelsius1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温

度计的零度.人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”.按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.

规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.问题1.温度可以用

摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？2.摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？3.今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？提示1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.2.可以，1°＝π

180rad，1＝180π°.3.弧度书写方便简单.1.度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所

对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad2.弧度数(1)正角：正角的弧度数是一个正数.(2)负角：负角的弧度数是一个负数.(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.3.角度制与弧度制的

换算牢记180°＝πrad，1rad＝180π°角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝π180__rad≈0.01745rad1rad＝(180π)

°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数4.扇形的弧长及面积公式牢记公式是解决数学问题的关键设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制

扇形的弧长l＝απR180l＝α·R扇形的面积S＝απR2360S＝12l·R＝12α·R2教材拓展补遗[微判断]1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)提示1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.2.“1

弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)3.160°化为弧度制是89πrad.(√)4.1rad的角比1°的角要大.(√)5.扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.(×)提示扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.[微训练]1.下

列命题中，假命题是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命

题，故选D.答案D2.2340°转化为弧度为________.解析2340×π180＝13π.答案13π3.已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为________.解析由S＝12|α|r2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4.答案3π44

.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.解析2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.答案一[微思考]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者

可混用吗？如何书写才是规范的？提示角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋π6(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋π3(k∈Z).题型一角度与弧度

的互化及应用【例1】将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－800°；(3)7π12；(4)－45π.解(1)20°＝20×π180＝π9；(2)－800°＝－800×π180＝－409π；(3)7π12＝7π12×18

0π°＝105°；(4)－45π＝－45π×180π°＝－144°.规律方法角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝(180π)°进行换

算.(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·(180π)°；n°＝n·π180.【训练1】(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度.解(1)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.

(2)－5π12＝－5π12×(180π)°＝－75°.题型二用弧度制表示角的集合在书写时，注意角度制与弧度制不能混用【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).解(1)以

OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为α－2π3＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z.(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是α2π3＋

2kπ<α<7π6＋2kπ，k∈Z.规律方法根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.(4)按逆时针方向书写.【训练2】已知角α＝2010°.(1)将α

改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.解(1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，

是第三象限的角.(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ<0，∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－56π.题型三扇形的弧长公式与面积公式的应用【例3】如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某

市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，AB的长度为100πm.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？解如图所示，∵∠AOB＝60°＝π3，AB的长度为100πm，∴OA＝100

ππ3＝300(m).根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.则∠O1OC＝30°＝π6，OO1＝OA－O1C＝300－O1C，又O1

C＝O1O·sinπ6，故O1C＝(300－O1C)×12，解得O1C＝100m.这时⊙O1的面积为π×1002＝10000π(m2).规律方法弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通

常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：(1)看清角的度量制，选用相应的公式；(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值

问题.【训练3】已知扇形AOB的周长为10cm.(1)若这个扇形的面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于半径r的二次函数.解设扇形圆心角的弧度数为θ(0

<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，(1)依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4，②①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8cm，此时，θ＝8rad>2πrad，舍去；当r＝4时

，l＝2cm，此时，θ＝24＝12rad.(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝12lr＝12(10－2r)·r＝5r－r2＝－(r－52)2＋254(0<r<5).当r＝52时，S取得最大值254，这时l＝10－2×52＝5，∴θ＝5r＝552＝2r

ad.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.二、素养训练1.下列各命题中，真命题是()A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧

C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.答案D2.将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A.－π4－8πB.74π－8πC.π

4－10πD.74π－10π解析－1485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为7π4－10π，选D.答案D3.扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()A.扇形的圆心角大小不变B.扇形的圆心角增大到原来的2倍C.扇形

的圆心角增大到原来的4倍D.扇形的圆心角减小到原来的一半解析设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，∴α＝lr，β＝2l2r＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变.答案A4

.若α∈(0，π)，且α与角－5π3终边相同，则α＝________.解析－5π3＝－2π＋π3，故α＝π3.答案π35.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.解设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即

l＝a－2r.∴S＝12l·r＝12(a－2r)·r＝－r2＋a2r＝－r－a42＋a216.∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<a2，∴当r＝a4时，Smax＝a216.此时，l＝a－2·a4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇

形的圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为a216.基础达标一、选择题1.与α＝π12＋2kπ(k∈Z)终边相同的角是()A.345°B.375°C.－11π12D.23π12解析因为k＝1，α＝π12＋2π＝

375°，所以选B.答案B2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为()A.3B.6C.9D.12解析设扇形的半径为R，由题意可得6R＝3，则R＝2，扇形的面积S＝12lR＝12×6×2＝6.答案B3.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所

对的弧长为()A.sin2B.2sin1C.2sin1D.tan1解析由图可知，弦长AB＝2，所以半径为1sin1，由弧长公式可得：lAB＝αr＝2sin1，故选B.答案B4.已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为()A.α－β＝π＋2kπ(k∈Z)B.α＋β＝0C

.α＋β＝2kπ(k∈Z)D.以上都不对解析由已知可得α－β＝π＋2kπ(k∈Z).答案A5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢

2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)()A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析

如图，由题意可得：∠AOB＝2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12AO＝12×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sinπ3＝4×32＝23，可得：弦＝2AD＝2×23＝43，所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝1

2(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).答案B二、填空题6.若3π4的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为________.解析∵l＝|α|r，∴r＝lα＝4.故答案为4.答案47.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________.解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α

>β，则α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.答案12＋π360，12－π3608.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.解析由扇形面积公式S＝

12lr＝12l·lα＝l22α，知1＝42α，所以α＝2.答案2三、解答题9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.解(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为α3π4＋2kπ<α<4π

3＋2kπ，k∈Z.(2)将终边为OA的一个角11π6改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为α－π6＋2kπ<α≤5π12＋2kπ，k∈Z.(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转

πrad而得到，所以满足条件的角的集合为αkπ≤α≤π2＋kπ，k∈Z.(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为α2π3＋kπ<α<5π6＋kπ，k∈Z.10

.已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).解(1)1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518

π(k∈Z).又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋2518π<4π，∴－9736<k<4736(k∈Z).∴k＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.能力提升11.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(

1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是30cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝π3，R＝10cm，∴l＝αR＝10π3(cm).S弓＝S扇－S△＝12×1

0π3×10－2×12×10×sinπ6×10×cosπ6＝50π3－32(cm2).(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，从而S＝12·l·R＝12(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－R－1522＋2

254.∴当半径R＝152cm时，l＝30－2×152＝15(cm)，扇形面积的最大值是2254cm2，这时α＝lR＝2rad.∴当扇形的圆心角为2rad，半径为152cm时，面积最大，为2254cm2.12.已知

扇形的圆心角为α，半径为r.(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.解(1)由题意，可得2r＋αr＝C，则αr＝C

－2r，得扇形面积S＝12αr2＝12(C－2r)r＝－r2＋12Cr，故当r＝14C时，S取得最大值116C2，此时α＝Cr－2＝2.(2)由题意，可得S＝12αr2，则αr＝2Sr，得扇形周长C＝2r＋αr＝2r

＋2Sr≥4S，当且仅当2r＝2Sr，即r＝S时取等号，即r＝S时，C取得最小值4S，此时α＝2Sr2＝2.