【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.2.1第二课时《三角函数值的符号及公式一》导学案-2019人教A版.doc，共(11)页，295.500 KB，由小喜鸽上传

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第二课时三角函数值的符号及公式一课标要求素养要求1.能利用三角函数的定义，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用，重点提升学生的数学

运算和逻辑推理素养.教材知识探究地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，月亮圆缺变化的周期性，而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢？问题如图，角α的终边OP绕原点O，旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗？提示相等，根据任意角

的三角函数的定义可得，终边相同角的同一三角函数值相等.1.三角函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).2.公式一函数名称不变(1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等.(

2)式子表示：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，其中k∈Z.tan（α＋k·2π）＝tanα，(3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.教材拓展补遗[微

判断]1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√)2.若sinα·cosα>0，则角α为第一象限角.(×)提示sinα·cosα>0，则sinα，cosα同号，则α为第一、三象限角.3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√)4.sin3>0，cos4<0.

(√)5.sinα>0，则α为第一、二象限角.(×)提示α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴.[微训练]1.sin390°的值为()A.32B.22C.12D.－12解析sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝12，故选C.答案C2

.下列4个实数中，最小的数是()A.sin1B.sin2C.sin3D.sin4解析∵4位于第三象限，故sin4<0，故选D.答案D3.计算：sin(2π＋π6)＝________，cos19π3＝________.解析sin(2π＋π6)＝sinπ6＝12，cos19π3＝cos(6π

＋π3)＝cosπ3＝12.答案1212[微思考]1.三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的

符号由角α的终边所在象限决定.2.根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示不一定，如sinα＝12，则α＝π6＋2kπ或α＝5π6＋2kπ(k∈Z).题

型一三角函数值在各象限的符号【例1】(1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由sinθ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限

，也可能与y轴的负半轴重合.由tanθ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.故选D.答案D(2)判断下列各式的符号：①tan191°－cos191°；②sin2·cos3·tan4.解①因为191°是第三象限角；所以tan191°>0，co

s191°<0.所以tan191°－cos191°>0.②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.所以sin2>0，cos3<0，tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0.规律方法三角函数值符号的判断问题：(1)由三角函数的定义可知sinα

＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键.(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问

题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.【训练1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin3，cos4，tan5；(2)sinα·cosα2·tanα2(α为三角形的内角).解(1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3，4

，5分别在第二、三、四象限，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.(2)∵α为三角形的一个内角，∴0<α<π，0<α2<π2，∴sinα>0，cosα2>0，tanα2>0，∴sinα·cosα2·tanα2>0.题型二公式一的应用

【例2】求下列各式的值：把绝对值较大的角转化为锐角或钝角(1)cos25π3＋tan(－15π4)；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.解(1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋

π4)＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32；(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.

规律方法利用公式一化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.(2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.【训练2】求下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋co

s(－1020°)sin750°；(2)sin－11π6＋cos12π5·tan4π.解(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝2

2×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.题型三三角函数值符号与公式一

的综合应用【例3】确定下列函数值的符号.(1)tan(－672°)；(2)cos9π4；(3)tan－11π6；(4)sin1480°10′；(5)tan－178π.解(1)tan

(－672°)＝tan(－672°＋2×360°)＝tan48°>0.(2)cos9π4＝cosπ4＋2π＝cosπ4＝22>0.(3)tan－11π6＝tan－116π＋2π＝tanπ6＝33>0.(4)sin1480°10′＝si

n(4×360°＋40°10′)＝sin40°10′>0.(5)tan－17π8＝tan－π8－2π＝tan－π8<0.规律方法对于绝对值较大的角先利用公式一转化到[0，2π]范围内的角，然后再判断符号.【训练3】确

定下列三角函数值的符号.(1)tan505°；(2)tan－274π；(3)cos950°；(4)sin－60π17.解(1)tan505°＝tan(360°＋145°)＝tan145°<0.(2)tan

－27π4＝tan－8π＋5π4＝tan5π4>0.(3)cos950°＝cos(950°－3×360°)＝cos(－130°)<0.(4)sin－60π17＝sin－4π＋8π17＝si

n8π17>0.一、素养落地1.通过本节课的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.2.把绝对值较大的角写成k·2π＋α的形式，然后利用公式一转化为较小的角，更有利于判断符号或求函数值.3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“

一全正，二正弦，三正切，四余弦”.二、素养训练1.sin256π等于()A.12B.32C.－12D.－32解析sin256π＝sin(4π＋π6)＝sinπ6＝12.答案A2.cos1110°的值为()A.12B.32C.－12D.－32解析cos1110°＝cos(

3×360°＋30°)＝cos30°＝32.答案B3.已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限.解析因为点P(tanα，cosα)在第三象限，则tanα<0且cosα<0，故角α的终边在第二象限.答案二4.求值：cos13π6＋tan(－5π3)＝______

__.解析原式＝cos(2π＋π6)＋tan(2π－5π3)＝cosπ6＋tanπ3＝32＋3＝332.答案3325.若sinθ·tanθ>0，则θ为第________象限角.解析∵sinθ·tanθ>0，∴sinθ与tanθ同号，所以θ为第

一或第四象限角.答案一或四基础达标一、选择题1.给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cosπ.其中符号为负的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析①中，－100°为第三象限角，∴sin(－100°)<0；②

cos(－220°)＝cos(－220°＋360°)＝cos140°<0；③∵－10∈－7π2，－3π，∴－10为第二象限角，∴tan(－10)<0；cosπ＝－1<0，故选D.答案D2.若sinθ<c

osθ，且sinθ·cosθ<0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由条件可知sinθ<0，cosθ>0，则θ为第四象限角，故选D.答案D3.2cos37π6－3tan－23π6的值为()A.－3B.－1C.0D

.3解析2cos37π6－3tan－23π6＝2cos6π＋π6－3tanπ6－4π＝2cosπ6－3tanπ6＝2×32－3×33＝0.答案C4.当α为第二象限角时，|sinα|sinα－cos

α|cosα|的值是()A.1B.0C.2D.－2解析∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴|sinα|sinα－cosα|cosα|＝sinαsinα＋cosαcosα＝2，故选C.答案C5.点P(cos2019°，si

n2019°)所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析cos2019°＝cos(2019°－6×360°)＝cos(－141°)<0，sin2019°＝sin(2019°－6×360°)＝sin(－141°)<0.故选C.答案C二、填空题6.sin13π3＋cos1

3π3－tan－23π4的值为________.解析sin13π3＋cos13π3－tan－23π4＝sin4π＋π3＋cos4π＋π3－tan－6π＋π4＝sinπ3＋cosπ3－tanπ4＝32＋12－1＝3－1

2.答案3－127.已知tanα>0且sinα＋cosα>0，那么α是第________象限角.解析∵tanα>0，∴α为第一、三象限角.若α为第一象限角，则sinα>0，cosα>0，∴sinα＋cosα>0；若α为第三象限角，则sinα<

0，cosα<0，∴sinα＋cosα<0.答案一8.已知角A为第三象限角，且sinA2＝－sinA2，则A2是第________象限角.解析∵A为第三象限角，∴A2为第二、四象限角.又∵sinA2＝－sinA2，∴sinA2<0，∴A2为第四象限角.答案四三

、解答题9.求下列各式的值：(1)a2sin(－1350°)＋b2tan405°－2abcos(－1080°)；(2)tan405°－sin450°＋cos750°.解(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°＋

0°)＝a2sin90°＋b2tan45°－2abcos0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.(2)tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋c

os(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32.10.判断下列各式的符号：(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan－23π4.解(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°<0

，cos265°<0，∴sin340°cos265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角.∴sin4<0，tan－23π4>0，∴sin4tan

－23π4<0.能力提升11.已知1|sinα|＝－1sinα，且lg(cosα)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(35，m)，求m的值及sinα的值.解(1)∵1|sinα|＝－1sinα，∴sinα

<0，①由lg(cosα)有意义，∴cosα>0.②由①②得，角α在第四象限.(2)∵点M(35，m)在单位圆上，∴(35)2＋m2＝1，解得m＝±45.又α是第四象限角，∴m<0，∴m＝－45.由三角函数定义知，sinα＝－45.12.若角θ的终边过点P(

－4a，3a)(a≠0).(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号.解(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r

＝5|a|，当a>0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝35－45＝－15.当a<0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－35＋45＝15.(2)当a>0时，sinθ＝35∈0，π2，cos

θ＝－45∈－π2，0，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos35·sin－45<0；当a<0时，sinθ＝－35∈－π2，0，cosθ＝45∈0，

π2，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos－35·sin45>0.综上，当a>0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a<0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正.