【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.5.1《函数的零点与方程的解》导学案-2019人教A版.doc，共(13)页，441.500 KB，由小喜鸽上传

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4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，

提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.教材知识探究路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？将这个实际问题抽象成数学模型.问题如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点

，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？提示只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.1.函数的零点注意零点不是点，而是一个实数(1)

概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：2.函数零点存在定理(1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b

]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.f(a)·f(b)<0是函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点的充分不必要条件(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就

是方程f(x)＝0的解.教材拓展补遗[微判断]1.设f(x)＝1x，由于f(－1)f(1)<0，所以f(x)＝1x在(－1，1)内有零点.(×)提示由于f(x)＝1x的图象在[－1，1]上不是连续不断的曲线

，所以不能得出其有零点的结论.2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)提示反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.3.若函数f(x)的图象在区间[

a，b]上是一条连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.(×)提示反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.[微训练]1.下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案D2.若2是函

数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.解析由f(2)＝4a－1＝0得a＝14.答案14[微思考]1.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.提示不一定.因为函数的零点就是方程的根，但

不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数，其图象都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.2.在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点.则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？提

示满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.题型一求函数的零点求函数的零点就是求对应方程的根或求函数与x轴交点的横坐标【例1】(1)函数y＝1＋1x的零点是()A.(－1，0)B.x＝－1C.x＝1D.x＝0(2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋

3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为________.(3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝______________________.解析(1)令1＋1x＝0，解得x＝－1，故选B.(2)令f

(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案(1)B(

2)－2(3)3规律方法探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【训练1】函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝b

x2－ax的零点是________.解析∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).∵－ax(2x＋1)＝x＝0，x＝－12，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－12.答案0，－12题型二判断函数零点的个

数方程解的个数或图象交点个数【例2】判断下列函数零点的个数.(1)f(x)＝x2－34x＋58；(2)f(x)＝lnx＋x2－3.解(1)由f(x)＝0，即x2－34x＋58＝0，得Δ＝－34

2－4×58＝－3116<0，所以方程x2－34x＋58＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.(2)法一函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下

，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点.从而方程lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点.法二由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝

ln2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1，2)上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，

转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化

成两个函数图象的交点问题.【训练2】函数f(x)＝lnx－1x－1的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析如图，画出y＝lnx与y＝1x－1的图象，由图知y＝lnx与y＝1x－1(x>0，且x≠1)的图象有两个交点.故函数

f(x)＝lnx－1x－1的零点有2个.答案C题型三判断函数零点所在的区间一般用函数零点存在定理解决【例3】(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋

c＝0的两根所在区间是()A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(

x)零点的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D.(4，＋∞)解析(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内

有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.(2)∵f(x)＝6x－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－2＝－12<0，由零点存在定理

，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).答案(1)A(2)C规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是

否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练3】(1)函数f

(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)(2)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于()A.－2B.1C.－2或1D.0解析(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1

－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.(2)由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝1x，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝1x的图象，如图所示，由图象

可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.答案(1)C(2)C一、素养落地1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理判断零点的个数

及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.函

数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.二、素养训练1.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有()A.0个B.1个C.2个D.不能确定解析由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝

(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点.答案C2.函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()A.(1，0)B.1C.12D.－1解析由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x

＝2，解得x＝1.答案B3.函数f(x)＝2x－1x的零点所在的区间是()A.(1，＋∞)B.12，1C.13，12D.14，13解析f(1)＝2－1＝1>0，f12＝21

2－2＝2－2<0，即f12f(1)<0，且f(x)的图象在12，1内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是12，1.答案B4.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是______

__.解析函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数.如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象.由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点.答案35.若32是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，求f(x)的另一个零点.解由f

32＝2×94－32a＋3＝0得a＝5，则f(x)＝2x2－5x＋3.令f(x)＝0，即2x2－5x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝1，所以f(x)的另一个零点是1.基础达标一、选择题1.下列函数没有零点的是()A.f(x

)＝0B.f(x)＝2C.f(x)＝x2－1D.f(x)＝x－1x解析函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点.答案B2.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则()A.方程f(x)＝0一定有实数解B.方程f(x)＝0一定无实数解C

.方程f(x)＝0一定有两实数解D.方程f(x)＝0可能无实数解解析∵函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解.答案D3.已知函数f(x

)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析∵f(

2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个，故选D.答案D4.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2

)C.(0，3)D.(0，2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.答案C5.已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x>1，则函数f(x)的零点为()A.1

2，0B.－2，0C.12D.0解析当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0,得x＝12(舍).综上所述，函数零点为0.答案D二、填空题6.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和

3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________.解析函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×

3＝6.所以g(x)＝－6x2－5x－1.解得g(x)的零点为－12，－13.答案－12，－137.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________.解析函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与

y＝x－1图象的交点个数.在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.答案28.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_____

___.解析因为y＝f(x)有两个零点，所以|2x－2|－b＝0有两个实根.即|2x－2|＝b有两个实根.令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.由图可知b∈(0，2)时y1与y2有

两个交点.答案(0，2)三、解答题9.已知函数f(x)＝1＋1x－xα(α∈R)，且f(3)＝－53.(1)求α的值；(2)求函数f(x)的零点.解(1)由f(3)＝－53，得1＋13－3α＝－53，∴α＝1.

(2)由(1)得f(x)＝1＋1x－x，令f(x)＝0，得1＋1x－x＝0，即x2－x－1x＝0，∴x＝1±52，∴f(x)的零点为1±52.10.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1

时，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求a的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－12(舍去).∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.(2)若f(x)有零点，则方程2a

·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝2x＋14x＝12x＋14x，令12x＝t，则g(t)＝t＋t2＝t＋122－14.∵t>0，∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，其值域为(0，＋∞)，∴

2a>0，即a的取值范围是(0，＋∞).能力提升11.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？解(1)依题意：

f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.∴方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f

(x)与y＝－m的图象有两个交点.由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点.12.已知函数f(x)＝－3x2＋2

x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围.解(1)函数有两个零点

，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m<43.由Δ＝0，可解得m＝43；由Δ<0，可解得m>43.故当m<43时，函数有两个零点；当m＝4

3时，函数有一个零点；当m>43时，函数无零点.(2)由题意知0是对应方程的根，故有1－m＝0，可解得m＝1.(3)由题意可得f(2)>0，即－7－m>0，则m<－7.故实数m的取值范围为(－∞，－7).