【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.3.2《对数的运算》导学案-2019人教A版.doc，共(11)页，425.000 KB，由小喜鸽上传

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4.3.2对数的运算课标要求素养要求1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步

提升数学抽象与数学运算素养.教材知识探究大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？问题观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？log2(2×4)＝l

og22＋log24＝3；log3(3×9)＝log33＋log39＝3；log2(4×8)＝log24＋log28＝5.提示如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.1.对数运算性质熟记对数运算性质，切忌记混性质如果a>0，且a≠1，M

>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝nmlogaM(n∈R，m≠0)2.换底公式经常

转化为常用对数和自然对数对数换底公式：logab＝logcblogca(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).教材拓展补遗[微判断]1.log2x2＝2log2x.(×)2.loga[(

－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)提示(1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)提示公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).4.log52＝1

log25.(√)[微训练]1.log513＋log53等于________.答案02.log29×log34等于________.答案43.log35·log56·log69＝________.解析原式＝lg5lg3·lg6lg5·lg9lg6

＝lg9lg3＝2lg3lg3＝2.答案2[微思考]1.对数运算性质的适用条件是什么？提示对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，性质不一定成立，如log3－8－3≠log3(－8)－log3(－3).2.换底公式中底数c是

特定数还是任意数？提示是大于0且不等于1的任意数.题型一利用对数的运算性质化简、求值注意对数运算性质的正用、逆用【例1】(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)lg3＋25lg9＋35lg27－lg3lg81－lg27；(3)log535－2log573＋log57－log

51.8.解(1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3＋910lg3－12lg34lg3－3lg3＝1

＋45＋910－12lg3（4－3）lg3＝115.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log

55＝2log55＝2.规律方法利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)

收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).【训练1】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解(1)法一原式＝12(5lg

2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.法二原式＝lg427－lg4＋lg75＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg10＝12.(2)原式

＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.题型二利用换底公式化简、求值【例2】(1)计算(log43＋log8

3)(log32＋log92).(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.解(1)原式＝lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＋lg2lg9＝lg32lg2＋lg33lg2·

lg2lg3＋lg22lg3＝5lg36lg2×3lg22lg3＝54.(2)法一∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log1845log1836＝log18（9×5）log18（18×2）＝log189＋lo

g1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.法二∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log18（9×5）log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.规律方

法换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.【训练2】(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)计算(log2125＋

log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.解(1)由log1227＝a，得3lg32lg2＋lg3＝a，∴lg2＝3－a2alg3.∴log616＝lg16lg6＝4lg2lg2＋lg3＝4

×3－a2a1＋3－a2a＝4（3－a）3＋a.(2)法一原式＝log253＋log225log24＋log25log28·log52＋log54log525＋log58log5125＝

3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·(3log52)＝13log25·log22log25＝13.法二原式＝lg125l

g2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝13lg53lg2

3lg2lg5＝13.法三原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)＝3log25＋log25＋13log25(log52＋log52＋log52)＝3×3＋1＋13log25·log52＝

3×133＝13.题型三利用对数式与指数式的互化解题两边取对数是解决此类问题的常用方法【例3】(1)设3a＝4b＝36，求2a＋1b的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且1x＋1y＋1z＝1，求x，y，z.解(1)法一由3a＝4b＝36，得a＝log

336，b＝log436，由换底公式得1a＝log363，1b＝log364，∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.法二由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2，∴2a＝log63，1b＝12log64＝log

62，∴2a＋1b＝log63＋log62＝log66＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk5，由1x＋1y＋1z＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴

k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.规律方法利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论

之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.【训练3】已知3a＝5b＝M，且1a＋1b＝2，则M＝________.解析由3a＝5b＝M，得

a＝log3M，b＝log5M，故1a＋1b＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝15.答案15一、素养落地1.通过对数运算性质的推导过程培养数学抽象素养，通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养.

2.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.3.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②l

oga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N).二、素养训练1.lg2516－2lg59＋lg3281等于()A.lg2B.lg3C.lg4D.lg5解析lg2516－2lg59＋lg3281＝lg2516÷2581×3281

＝lg2.故选A.答案A2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是()A.a－2B.5a－2C.3a－(1＋a)2D.3a－a2解析原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.答案A3.已知2m＝5n＝10，则1m＋1n＝_______

_.解析因为m＝log210，n＝log510，所以1m＋1n＝log102＋log105＝lg10＝1.答案14.若logab·log3a＝4，则b的值为________.解析logab·log3a＝lgblga·lgalg3＝lgb

lg3＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案815.求下列各式的值：(1)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(2)2lg2＋lg32＋lg0.36＋2lg2.解(1)法一原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋

lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.法二原式＝lg14－lg732＋lg7－lg18＝lg14×7732×18＝lg1＝0.(2)原式＝2lg2＋lg32＋lg36－2＋2lg2＝2lg2＋lg

32（lg2＋lg3）＋2lg2＝2lg2＋lg34lg2＋2lg3＝12.基础达标一、选择题1.若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于()A.2B.12C.100D.10解析∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得l

ga＋lgb＝－－42＝2，∴ab＝100.故选C.答案C2.化简12log612－2log62的结果为()A.62B.122C.log63D.12解析原式＝log612－log62＝log6122＝log63.答案C3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2

a＋b＝ab，则实数k的值为()A.6B.9C.12D.18解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝logk2，1b＝logk3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴

k＝18.答案D4.已知x，y为正实数，则()A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC.2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx·2lgy解析2lgx·2lgy＝2l

gx＋lgy＝2lg(xy).故选D.答案D5.已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为()A.3B.8C.4D.log48解析由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2log283log24＝log23＋(3log22－log23)＝3

.答案A二、填空题6.计算100(12lg9－lg2)－log98·log433＝________.解析100(12lg9－lg2)－log98·log433＝10lg9÷10lg4－lg8lg9·13lg3lg

4＝94－3lg22lg3·13lg32lg2＝94－14＝2.答案27.已知3a＝2，3b＝15，则32a－b＝________.解析∵3a＝2，3b＝15，两边取对数得a＝log32，b＝log315＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a

－b＝20.答案208.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f12019＝4，则f(2019)＝________.解析由f12019＝alog212019＋blog312019

＋2＝4，得－alog22019－blog32019＝2.∴alog22019＋blog32019＝－2.∴f(2019)＝alog22019＋blog32019＋2＝－2＋2＝0.答案0三、解答题9.求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89·log2732－(3－1)lg1＋log

535－log57.解(1)lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.(2)log89·log2732－(3－1)lg1＋log535－log57＝lg9lg8×lg32lg27－1＋log5357

＝2lg33lg2×5lg23lg3－1＋1＝109.10.计算下列各式的值：(1)log34273＋lg25＋lg4＋7log72；(2)2log32－log3329＋log38－52log53.解(1)原式＝log33343＋lg(25×4)＋2＝log33－14＋lg102＋2＝－

14＋2＋2＝154.(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.能力提升11.2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少

年后国民生产总值是2018年的2倍(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年).解设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，经过2年，国民生产总值为a

(1＋8%)2，„经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg1.08＝lg2.∴x＝lg2lg1.08≈0.30100.0334≈9.故约经过9年，国民生产总值是2018年的2倍.1

2.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1).(1)若设x＝at，试用a，t表示y；(2)若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值.解(1)由换底公式，得logax＋3logax－logay

logax＝3(a>1)，所以logay＝(logax)2－3logax＋3.当x＝at时，logax＝logaat＝t，所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝at2－3t＋3(t≠0).(2)y＝a(t－32)2＋34，因为0<t≤2，a>1，所以当t＝32时，ymin＝a34＝8.所以a＝

16，此时x＝a32＝64.