【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.3.1《对数的概念》导学案-2019人教A版.doc，共(11)页，420.500 KB，由小喜鸽上传

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4.3对数4.3.1对数的概念课标要求素养要求1.理解对数的概念.2.知道自然对数和常用对数.3.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用..1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.2.理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展

数学抽象及数学运算素养教材知识探究某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….问题依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知

细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？提示2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数.1.对数的概念（1一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=lo

gaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)常用对数与自然对数熟记无理数e的大小，在后面估算中经常用到通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以

无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N.2.对数与指数的关系易得alogaN＝N，logaab＝b.根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：当a>0，且a≠1时，ax＝Nx＝logaN.3.对数的有关结论对数的有关结论是解题

的重要依据(1)零和负数没有对数；(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1)教材拓展补遗[微判断]1.根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(×)提示因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误

.2.对数式log32与log23的意义一样.(×)提示log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.3.对数的运算实质是求幂指数.(√)[微训练]1.若log3(2x－1)＝0

，则x＝________.解析若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.答案12.若logx8＝3，则x＝________.解析由指对互化知x3＝8，所以x＝2.答案2[微思考]1.任何一个指数式都可以化为对数式吗？提示不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.2

.在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？提示①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使－12x＝2成立，所以log－12不存在，所以a不能小于0.②a＝0

，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定.③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定.题型一对数的定义及其应用【例1】(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)

中，实数x的取值范围是________.(2)将下列指数式、对数式互化.指对互化的重要依据ab＝NaN＝b①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析由题意可知4－x>0，x－2>

0，x－2≠1，解得2<x<4且x≠3.答案(2，3)∪(3，4)(2)解①由54＝625，得log5625＝4.②由log216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.④由log5125＝6，得(5

)6＝125.规律方法指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.【训练1】将下列指数式、对数式互化：(1)43＝64；(2

)lna＝b；(3)12m＝n；(4)lg1000＝3.解(1)因为43＝64，所以log464＝3；(2)因为lna＝b，所以eb＝a；(3)因为12m＝n，所以log12n＝m；(4)因为lg1000＝

3，所以103＝1000.题型二对数相关结论的应用【例2】求下列各式中的x的值.利用对数的结论由外层到内层求解(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(3＋1)23－1＝x.解(1)因为log2(log3x)＝0，所以log

3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝2（3＋1）2＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1.∴x＝1.规律方法求解此类问题时，应

根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.【训练2】求下列各式中的x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解(1)由log8[log7(log2x)

]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.题型三利用指数式与对数式的互化求值【例3】(1)求

下列各式的值.①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.(2)求下列各式中x的值.注意指对互化关系式在解题中的应用①log64x＝－23；②logx8＝6；③lg100＝x；④－lne2＝x.(1)解析①设log981＝x

，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.答案①2②0③2(2)解①

由log64x＝－23得x＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116；②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝816＝23×16＝2；③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所

以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.规律方法对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练3】利用指数式

、对数式的互化求下列各式中的x值.(1)log2x＝－12；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4.解(1)由log2x＝－12，得2－12＝x，∴x＝22.(2)由logx25＝

2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.(3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.(4)由2log3x＝4＝22，得log3x＝2，所以x＝32，即x＝9.一、素养落地1.通过学习对数、常用对

数、自然对数的概念，提升数学抽象素养.通过运用对数的结论求简单的对数值，提升数学运算素养.2.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝NaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得记住这两个式子有利于简化运

算两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.3.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.二、素养训练1

.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析(1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.答案B2.使对数loga(－2a＋1

)有意义的a的取值范围为()A.a>12且a≠1B.0<a<12C.a>0且a≠1D.a<12解析由题意知－2a＋1>0，a>0，a≠1，解得0<a<12.答案B3.方程lg(2x－3)＝1的解为

________.解析由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝132.答案1324.计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.答案05.把下列

指数式化为对数式，对数式化为指数式.(1)2－3＝18；(2)17a＝b；(3)lg11000＝－3；(4)ln10＝x.解(1)由2－3＝18可得log218＝－3；(2)由17a＝b得log17b＝a；(3)由lg1

1000＝－3可得10－3＝11000；(4)由ln10＝x可得ex＝10.基础达标一、选择题1.logab＝1成立的条件是()A.a＝bB.a＝b且b>0C.a>0，a≠1D.a>0，a＝b≠1解析由logab＝

1得a>0，且a＝b≠1.答案D2.有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2.其中正确的是()A.①③B.②④C.①②D.③④解析lg(lg10)

＝lg1＝0，ln(lne)＝ln1＝0，故①②正确；若10＝lgx，则x＝1010，故③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误.答案C3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为()A.107B.710C.1049D.4910解析3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log3

7＝10÷7＝107.答案A4.已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则ab的值为()A.1B.－1C.5D.15解析由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故ab＝1.答案A5.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是()①若M＝N，则logaM＝l

ogaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A.①②B.②③④C.②D.②③解析①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当

M＝N＝0时不正确.答案C二、填空题6.若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝________.解析由log3(a＋1)＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1.答案17.方程3log2x

＝127的解是________.解析∵3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，x＝2－3＝18.答案188.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则1a＋1b＝________.解析设2＋l

og2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，即4a＝2k，27b＝3k，所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝1a＋1b.答案108三、解答题9.将下列指数式、对数式互化.(1)35＝

243；(2)2－5＝132；(3)log1381＝－4；(4)log2128＝7.解(1)log3243＝5；(2)log2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.10.求

下列各式中的x的值.(1)logx27＝32；(2)log2x＝－23；(3)logx(3＋22)＝－2；(4)log5(log2x)＝0；(5)x＝log2719.解(1)由logx27＝32，得x32＝27，∴x＝2723＝32＝9.(2)由log2x＝－23，得2－23＝x，∴x＝1

322＝322.(3)由logx(3＋22)＝－2，得3＋22＝x－2，即x＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝2.(5)由x＝log2719，得27x＝19，即33x＝3－2，则3x＝－2，所以x＝－23.能力提升11.(1)

若f(10x)＝x，求f(3)的值；(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lgt，∴f(t)＝lgt，即f(x)＝lgx，∴f(3)＝lg3.(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3

＋359＝24＋27＝51.12.若log2(log12(log2x))＝log3(log13(log3y))＝log5(log15(log5z))＝0，试确定x，y，z的大小关系.解由log3(log13(log3y))＝0

，得log13(log3y)＝1，log3y＝13，y＝313＝(310)130.由log2(log12(log2x))＝0，得log12(log2x)＝1，log2x＝12，x＝212＝(215)130.由log5(lo

g15(log5z))＝0，得log15(log5z)＝1，log5z＝15，z＝515＝(56)130，∵310>215>56，∴y>x>z.