【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.2 第2课时《指数函数的性质的应用》学案-2019人教A版.doc，共(7)页，346.500 KB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115708.html

以下为本文档部分文字说明：

1第2课时指数函数的性质的应用学习目标核心素养1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用

指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函

数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指

数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.2比较幂的大小的

方法1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.4当底数含参

数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.1．比较下列各值的大小：4313，223，－233，3412.[解]先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：

－233；(2)大于1的数：4313，223；(3)大于0且小于1的数：3412.(2)中，4313<213<223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝43x，y＝2x的图象，再分别取x＝13，x＝23，比

较对应函数值的大小，如图)，故有－233<3412<4313<223.利用指数函数的单调性解不等式【例2】(1)解不等式123x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围．[

解](1)∵2＝12－1，∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1.∵y＝12x在R上是减函数，3∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1

)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<－1

或x>5；当a>1时，－1<x<5.1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔

fx>gx，a>1，fx<gx，0<a<1.2．若ax＋1>1a5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范围．[解]因为ax＋1>1a5－3x，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax为增函数，

可得x＋1>3x－5，所以x<3；当0<a<1时，y＝ax为减函数，可得x＋1<3x－5，所以x>3.综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞)．指数型函数单调性的综合应用[探究问题]41．试结合图象，分析y＝2－x，y

＝2|x|，y＝12x＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为－∞，＋∞增区间为0，＋∞减区间为－∞，0减区间为－∞，＋∞2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数

y＝|x|的单调性是否一致？提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．3．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0<a<1时，函数y＝a－x2的单

调性与y＝－x2的单调性相反．【例3】判断f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨]令u＝x2－2x―→函数ux的单调性―→函数y＝13u的单调性――→同增异减函数fx的单调性[解]令u＝x2－2x，则原函数变为y＝

13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝

13u，u∈[－1，＋∞)，5∴0<13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．[解]函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，

则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调

减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．函数y＝afxa>0，a≠1的单调性的处理技巧1关于指数型函数y＝afxa>0，且a≠1的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是fx的单调性，它由两个函数y＝

au，u＝fx复合而成.2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝fu，u＝φx，通过考查fu和φx的单调性，求出y＝fφx的单调性.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运

用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如ax

>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．6(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如ax>bx的不等式，

可借助图象求解．3．(1)研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝af(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x

是R上的增函数．()(2)若0.1a>0.1b，则a>b.()(3)a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.()(4)由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．()[答案](1)×(2)×(3)×

(4)×2．若2x＋1<1，则x的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)D[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]3．下列判断正确的是()A．1.

72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5D[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点2，19.(1)比较f(2)与f(b2

＋2)的大小；(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．7[解](1)由已知得a2＝19，解得a＝13，因为f(x)＝13x在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(

2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以13x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．