【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.7《三角函数的应用》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(41)页，3.745 MB，由小喜鸽上传

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5.7三角函数的应用课标要求素养要求1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.教材知识探究温州市区著名

景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿

码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：江心屿问题1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？提示1.水深随时间的变化呈周期变化.2.若用平滑的曲线连结各点，则

大致呈正弦曲线.时间0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.551.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.理清三角函数模型的物理意义是解决问题的关键(1))A就是这个简谐运动的，

它是做简谐运动的物体离开平衡位置的；振幅最大距离(2)简谐运动的周期是_____________，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；(3)简谐运动的频率由公式__________________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内

往复运动的次数；(4)_____________称为相位；x＝0时的相位φ称为_____________.)T=2πφf=1T=φ2πωx＋φ初相2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我

们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.教材拓展补遗[微判断]1.数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据

条件对所给问题进行预测和控制.()2.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，t∈[0，24).则实验室这一天的最大温差为4℃.()√√答案2.5[微训练]1.电流I(A)随时间t(s)变化的

关系式是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200s时，电流I为________A.解析I＝5sinπ2＋π3＝5cosπ3＝2.5(A).答案3πx－π2.振动量y＝2sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________.解析∵

T＝23，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.答案13.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin2πt＋π6，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.解析因为单摆运动的周期为

T＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1s.[微思考]1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？提示三角函数模型.2.在建模过程中，散点图的作用是什么？提示利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种

关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.题型一已知三角函数图象解决应用问题【例1】已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π

2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？根据物理意义确定A，ω，φ解(1)由题图知A＝300，设t1＝－

1900，t2＝1180，又当t＝1180时，I＝0，即sin150π·1180＋φ＝0，则周期T＝2(t2－t1)＝21180＋1900＝175.∴ω＝2πT＝150π.而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I＝300sin150πt＋π

6.∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.(2)依题意，周期T≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，规律方法已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ

，同时在解题中注意各个参数的取值范围.【训练1】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧

振子在5s内通过的路程及位移.解(1)设振幅为A，则2A＝20cm，所以A＝10cm.所以f＝1Hz.设周期为T，则T2＝0.5s，所以T＝1s，(2)振子在1s内通过的路程为4A，故在5s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).5s末物体处在B点，所以它的位移为0cm.题

型二已知三角函数解析式解决应用问题【例2】一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6).(1)画出它一个周期的图象；(2)回答以下问题

：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？③小球来回摆动一次需要多少时间？t01651223111212πt＋π6π6π2π3π22π2π＋π66sin(2πt＋π6)360－603解(1)

周期T＝2π2π＝1(秒).列表：描点画图：(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3厘米.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.③小球来回摆动一次需要1秒(即周期).规律方法在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的

位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝1T＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位

时间内物体往复运动的次数.解(1)x∈[4，16]，则π8x－5π4∈－3π4，3π4.【训练2】已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sinπ8x－5π4＋20，x∈[4，16].(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌

在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？由函数解析式易知，当π8x－5π4＝π2，即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30℃，当π8x－5π4＝－π2，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10℃，所以最大

温差为30－10＝20(℃).(2)令10sinπ8x－5π4＋20＝15，可得sinπ8x－5π4＝－12，而x∈[4，16]，所以x＝263.令10sinπ8x－5π4＋20＝25

，可得sinπ8x－5π4＝12，而x∈[4，16]，所以x＝343.故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时).题型三建立确定的三角函数模型【例3】如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60

秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.解(1)由题意可作图

如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当0≤θ≤π2，π<θ≤2π时，上述解析式也适合.当π2<θ≤π时，∠BOM＝θ－π2.h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sinθ－π2；则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin

θ－π2.(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是2π60＝π30，∴t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝4.8sinπ30t－π2＋5.6，t∈[0，＋∞).规律方法面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐

条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.【训练3】如图，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间

t(min)乊间的函数关系是()A.h＝8cosπ6t＋10B.h＝－8cosπ3t＋10C.h＝－8sinπ6t＋10D.h＝－8cosπ6t＋10解析由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C.答案D题型四三角函数模型的拟合【例4】

下表是某地某年月平均气温(华氏)：月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.解(1)如图.(1)用正弦曲线去拟合这些数据；(2)估计这个正弦曲

线的周期T和振幅A；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？①yA＝cosπx6；②y－46A＝cosπx6；③y－46－A＝cosπx6.(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝

51.6，所以A＝25.8.(3)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.故T2＝7－1＝6，所以T＝12.代入①，得yA＝26.025.8>1≠cosπ6，故①不适合；代入②，得y－46A＝26.0－4625.8<0≠cosπ6，故②不适合

.所以应选③.规律方法根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.【训练4】一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)乊间的一组对应值如下

表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t乊间的关系的一个三角函数式为________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到

A＝4，ω＝2πT＝2π0.8＝5π2，又由4sinφ＝－4.0，得sinφ＝－1，取φ＝－π2，则y＝4sin5π2t－π2，即y＝－4cos5π2t.答案y＝－4cos5π2t一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.2.三角函数模型构建的步

骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.二、素养训练1.

如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝12sin2t＋π2，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是()A.12，1πB.2，1π

C.12，πD.2，π答案A解析当t＝0时，θ＝12sinπ2＝12，由函数解析式易知，单摆的周期为2π2＝π，故单摆的频率为1π，故选A.答案B2.已知简谐振动的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点0，34，则该简谐振动的频率和初相是()A.16，π6

B.18，π6C.18，π3D.16，π3解析由题意可知，A＝32，32＋T22＝52，则T＝8，ω＝2π8＝π4，∴y＝32sinπ4x＋φ.由图象过点0，34得32sinφ＝34，∴sinφ＝12，∵|φ|<π2，∴φ

＝π6，因此频率是18，初相为π6，故选B.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15][3π，5π]，故选C.答案C3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)

＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是()A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]解析由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.4.国际油价在某一时

间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋π4)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________.解析A＋60＝80得A＝20，且150πω＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z，即

k＝1时，ω最小值为1120.答案1120答案505.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动________次.解析据I＝52sin(100πt－π2)知ω＝100πrad/s

，该电流的周期为T＝2πω＝2π100π＝0.02s，则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为n＝2·tT＝2×0.50.02s＝50(次).