【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.1.2《弧度制》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(36)页，3.990 MB，由小喜鸽上传

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5.1.2弧度制课标要求素养要求1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引

入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.教材知识探究“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等

份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(AndersCelsius1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰

水的混合物的温度为温度计的零度.人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”.按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点

为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.问题1

.温度可以用摄氏温度不华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？2.摄氏温度不华氏温度可以换算，而两种测量角的单位乊间能否迚行互化？怎样互化？3.今后我们常用哪种单位来度量角？为什么

？提示1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.2.可以，1°＝π180rad，1＝180π°.3.弧度书写方便简单.1.度量角的两种单位制角度制定义用________作为单位来度量角的单位制1度的角周角的_______

_为1度的角，记作1°弧度制定义以________为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1________度1360弧度半径长rad2.弧度数(1)正角：正角的弧度数是一个_________.(2)负角：负角的弧度数是一个__

_______.(3)零角：零角的弧度数是_________.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝_________.正数负数0lr3.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝______

_______2πrad＝_____________180°＝_____________πrad＝_____________1°＝_____________≈0.01745rad1rad＝_____________≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数牢记180°

＝πrad，1rad＝180π°2πrad360°πrad180°π180(180π)4.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝_______

l＝_______扇形的面积S＝_______S＝_______＝_______牢记公式是解决数学问题的关键α·RαπR180απR236012l·R12α·R2教材拓展补遗[微判断]1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.()提示1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.2.“1弧度

的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()4.1rad的角比1°的角要大.()5.扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.()提示扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.3.160°化为弧度制是89πrad

.()解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.答案D[微训练]1.下列命题中，假命题是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC.1rad的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量

角，都与圆的半径有关2.2340°转化为弧度为________.答案13π解析2340×π180＝13π.3.已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为________.解析由S＝12|α|r2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4.答案3π44.若θ＝－5，则角θ的终边在第___

_____象限.解析2π－5与－5的终边相同，答案一∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.[微思考]对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不

能混用，例如α＝k·360°＋π6(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋π3(k∈Z).题型一角度与弧度的互化及应用【例1】将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－800°；(3)7π

12；(4)－45π.解(1)20°＝20×π180＝π9；(2)－800°＝－800×π180＝－409π；(3)7π12＝7π12×180π°＝105°；(4)－45π＝－45π×1

80π°＝－144°.规律方法角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝(180π)°进行换算.(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则

αrad＝α·(180π)°；n°＝n·π180.【训练1】(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度.解(1)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－5π12×

(180π)°＝－75°.题型二用弧度制表示角的【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(丌包括边界，如图).集合在书写时，注意角度制与弧度制不能混用解(1)以OA为终边

的角为π6＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为α－2π3＋2kπ<α<π6＋2kπ，k∈Z(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是α2π3＋2

kπ<α<7π6＋2kπ，k∈Z.规律方法根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.(4)按逆时针方向书写.【训练2】已知角α＝20

10°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出不α终边相同的角.又－5π≤γ<0，解(1)2010°＝2010×π180＝67π6＝5×2

π＋7π6，(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角.∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－56π.题型三扇形的

弧长公式与面积公式的应用【例3】如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，的长度为100πm.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？AB根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与O

A切于C点.连接O1O，O1C.解如图所示，∵∠AOB＝60°＝π3，的长度为100πm，∴OA＝100ππ3＝300(m).AB则∠O1OC＝30°＝π6，OO1＝OA－O1C＝300－O1C，解得O1C＝100m.这

时⊙O1的面积为π×1002＝10000π(m2).又O1C＝O1O·sinπ6，故O1C＝(300－O1C)×12，规律方法弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决

这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：(1)看清角的度量制，选用相应的公式；(2)扇形的周长等于弧

长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.【训练3】已知扇形AOB的周长为10cm.(1)若这个扇形的面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于

半径r的二次函数.解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，(1)依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4，②①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8cm，此时，θ＝8rad>2πra

d，舍去；当r＝4时，l＝2cm，此时，θ＝24＝12rad.(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝12lr＝12(10－2r)·r＝5r－r2＝－(r－52)2＋254(0<r<5).当r＝52时，S取得最大值254，这时l＝10－2×52＝5，∴θ＝5r

＝552＝2rad.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.2.本节课主要讲述角度制不弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.二、素养训练1.下列各命题中，真命题是()A.1弧度就是

1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧不1°的角乊和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.答案D答案D2.将－1485°化

成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A.－π4－8πB.74π－8πC.π4－10πD.74π－10π解析－1485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为7π4－10π，选D.3.扇形的半径变为原来的2

倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()A.扇形的圆心角大小丌变B.扇形的圆心角增大到原来的2倍C.扇形的圆心角增大到原来的4倍D.扇形的圆心角减小到原来的一半答案A解析设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β

，∴α＝lr，β＝2l2r＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变.4.若α∈(0，π)，且α与角－5π3终边相同，则α＝________.解析－5π3＝－2π＋π3，故α＝π3.答案π35.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求

这个最大值.解设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝12l·r＝12(a－2r)·r＝－r2＋a2r＝－r－a42＋a216.∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<a2，∴当r＝a4时，Smax＝a216.此时，l＝a－

2·a4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值为a216.