【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.2.1 第一课时《三角函数的定义》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(29)页，3.289 MB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115675.html

以下为本文档部分文字说明：

5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念第一课时三角函数的定义课标要求素养要求1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.能利用定义解决相关问题.通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养.教材知识探究如图

所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒.问题1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？2.如图所示建立直角坐标系，设点P(xP

，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？提示1.30秒时h＝h0＋R·sin30°＝h0＋12R；45秒时h＝h0＋Rsin45°，t秒时h＝h0＋Rsint°.2.能，sinα＝

yP，cosα＝xP，tanα＝yPxP，改变终边上点的位置，比值不会改变.1.任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边不交于点P(x，y)单位圆圆心在坐标原点，半径为1的圆为单位圆定义正弦_____叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝____余弦_____叫

做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝____正切_____叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝_____(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数yyxxyxyx2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下

的定义域(1)正弦函数y＝sinx的定义域为________；(2)余弦函数y＝cosx的定义域为________；(3)正切函数y＝tanx的定义域为__________________________.

RR{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}教材拓展补遗[微判断]1.角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.()提示角的三角函数值与点在终边上的位置无关.3.终边在x轴上的角的正切值丌存在.()提示终边在y轴上的角的正切值不存在.2.若角α终边过点(1，3)，则sinα＝31010.()×√×

[微训练]1.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________.解析易知r＝32＋（－4）2＝5，所以sinα＝－45，cosα＝35，故sinα＋cosα＝－15.答案－152.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y

<0，cosα＝35，则tanα＝________.解析∵cosα＝332＋y2＝35，∴32＋y2＝5.∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－43.答案－43[微思考]1.三角函数值的大小不点

P在角α终边上的位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.2.若两个角α，β的

正弦值相等，那么α＝β吗？提示不一定相等，α，β可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于y轴对称.解由题意，设点A的坐标为(x，35)，所以x2＋(35)2＝1，题型一三角函数定义的应用【例1－1】在平面直角坐标系中，角

α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为35，求tanα.解得x＝45或－45.当x＝45时，角α在第一象限，tanα＝3545＝34；当x＝－45时，角α在第二象限，tanα＝35－45＝－34.规律方法首先求出角的终边与单位圆交

点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解.【例1－2】已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＝________.解析易知角α的终边在第一象限或第三象限，当角α的终边在第一象限时，角α的终边与单位圆的交点P的坐标为22

，22，则sinα＝22；当角α的终边在第三象限时，角α的终边与单位圆的交点P′的坐标为－22，－22，则sinα＝－22.综上可知，sinα＝22或sinα＝－22.答案±22规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线还是应分两种情况处理.解析因为(－

32)2＋(－12)2＝1，所以点(－32，－12)在单位圆上，由三角函数的定义知sinα＝－12，cosα＝－32，tanα＝33.【训练1】(1)已知角α的终边经过点(－32，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝_

_______.答案－12－3233解如图所示，2π3的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝32，|OB|＝12，则P－12，32.所以sin2π3＝32，cos2π3＝－12，tan2π3＝32－12

＝－3.(2)利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值.题型二利用角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值【例2】已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值.在求r时应注意r＝|OP|>0.

解r＝（－3a）2＋（4a）2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限.sinα＝yr＝4a5a＝45，cosα＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sinα＋cosα＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝4a－5a＝

－45，cosα＝－3a－5a＝35.所以2sinα＋cosα＝－85＋35＝－1.规律方法(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝yr

，cosα＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.答案－1【训练2】已知角α的终边经过点P(5m，12)，且cosα＝－513，则m＝________.解析r＝（5m）2＋122＝

25m2＋144，cosα＝5mr＝－513<0，∴m<0，m25m2＋144＝－113，解得m＝－1.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.二、素养训

练1.若角α的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是()A.tanαB.sinαC.cosαD.都有意义答案A解析由三角函数的定义sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，可知tanα无意义.答案C2.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)

，则cosα为()A.1B.－1C.22D.－22解析∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋（－1）2＝2，∴cosα＝xr＝12＝22.答案C3.若角α的终边过点(5，12)，则cosα－sinα＝()A.513B.713C.－713D.－513解析由

题意知r＝52＋122＝13，所以，cosα＝513，sinα＝1213，所以，cosα－sinα＝－713，故选C.4.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则实数a的取值范围是_

_______.解析由三角函数的定义可知sinα>0a＋2>0，cosα≤03a－9≤0，∴－2<a≤3.答案(－2，3]解设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则x2＋y2＝1，5.已知角α的终边在射线y＝3x(x>0)上

，求角α的正弦、余弦和正切值.于是sinα＝y＝32，cosα＝x＝12，tanα＝yx＝3.又y＝3x(x>0)，解得x＝12，y＝32.