【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.5.2《用二分法求方程的近似解》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(30)页，2.906 MB，由小喜鸽上传

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4.5.2用二分法求方程的近似解课标要求素养要求1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教

材知识探究在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多

爬7次电线杆子就能把故障排除了，你知道他是如何做到的吗？如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一

半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.问题1上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？问题2工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？问题3如果把故障可能发

生的范围缩小在200m左右，至多需要爬几次电线杆子？提示1.二分法.2.确立故障的范围.3.6次.1.二分法二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用对于在区间[a，b]上图象连续丌断且的函数y

＝f(x)，通过丌断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证；(

2)求区间(a，b)的中点；(3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈)，则令b＝c；③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈)，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零

点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).f(a)·f(b)<0cc(a,c)(c,b)教材拓展补遗[微判断]1.二分法所求出的方程的解都是近似解.()提示如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解.2.函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.()提示对于函数f(x)＝|x|，不存

在区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零点.3.用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.()提示函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.×××[微训练]1.二分法求函数的零点的近似值适合于()A.零点两侧函数

值异号的函数B.零点两侧函数值同号的函数C.所有函数都适合D.所有函数都丌适合解析由函数零点存在定理可知选A.答案A2.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A

.0.9B.0.7C.0.5D.0.4解析由题意可知函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B.答案B[微思考]1.用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示前提条件：(1)f(x)

在区间[a，b]上的图象连续不断.(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.2.二分法的解题原理是什么？提示函数零点存在定理.题型一二分法概念的理解二分法就是将零点所在的区间一分为二，逐步逼近零点的办法【例1】(1)下列函数中丌能用二分法求零点的是()(2)用

二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，

f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).答案(1)B(2)(1，2)规律方法运用二分法求函数的

零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数不可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4B.

3，4C.5，4D.4，3解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案D题型二用二分法求函数的零点二分法求零点时，当区间中点恰好是所求零点或区间长度小于精确度ε时要终止等分区间【例2】用二分法求函数

f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确度0.01).解经计算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).如此

继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.

3125，1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125，1.34375)1.328125f(1.328125)>0(1.3125，1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0因为|1.328125－1.3203125|

＝0.0078125<0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算

f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.【训练2】证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1).解设函数

f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点，设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)f(1.5)<0，∴x

0∈(1，1.5).取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25).取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125

，1.25).取x4＝1.1875，f(1.1875)＝－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875，1.25).∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴可取x0＝1.25，则函数的一个零点可取x0

＝1.25.题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，

即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解.取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：(a，b)中点cf(a)

f(b)fa＋b2(0，1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5，1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5，0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f

(0.625)<0(0.625，0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数

近似解可取为0.6875.规律方法用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是

继续计算.【训练3】用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.5

92.833.083.363.67∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1，2)x1＝1.5f(x1)＝0.33

>0(1，1.5)x2＝1.25f(x2)＝－0.37<0(1.25，1.5)x3＝1.375f(x3)＝－0.035<0一、素养落地1.通过探索用二分法求方程近似解的思路，培养数学抽象素养，通过借助计算

工具用二分法求方程近似解提升数学运算及逻辑推理素养.2.二分法就是通过丌断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.3.并非所有函数都可以用二分

法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续丌断；(2)f(a)·f(b)<0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.二、素养训练1.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算

f(x1)，则x1等于()A.1B.－1C.0.25D.0.75答案C解析x1＝0＋0.52＝0.25.2.用二分法研究函数f(x)＝x3－2x－1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有解区间为()A.(1，2)B.(1.75，2)C.(1.5，2)D.(1

，1.5)答案C解析由题知f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－58<0，∴零点所在的区间为(1.5，2)，故选C.答案C3.下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是()①y＝3x2－2x＋5；②y＝－x＋1，x≥0

，x＋1，x<0，；③y＝2x＋1，x∈(－∞，0)；④y＝12x2＋4x＋8.A.①③B.②C.④D.②④解析由y＝12x2＋4x＋8知此函数的判别式Δ＝0，故无法用二分法求零点近似值.4.某方程有一无理根在区间D＝(1，3)内，若用二分法

求此根的近似值，将D至少等分________次后，所得近似值的精确度达到0.1.答案5解析由3－12n<0.1，得2n－1>10，∴n－1≥4，即n≥5.5.判定方程3x－x2＝0在区间[1，2]内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由.解方程3x－

x2＝0在区间[1，2]内没有实数解，下面说明理由.设f(x)＝3x－x2，则f(1)＝2>0，f(2)＝5>0，又根据函数y＝3x，y＝x2增长速度可知，当x∈[1，2]时，3x－x2>0恒成立，故不存在x∈[1，2]，使3x－x2＝0，即方程3x－x2＝

0在区间[1，2]内没有实数解.