【文档说明】高中数学必修第一册1.4《充分条件与必要条件》PPT课件-2019人教A版.ppt，共(37)页，1.215 MB，由小喜鸽上传

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1．4充分条件与必要条件1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.新

课程标准知识点一充分条件与必要条件(一)教材梳理填空(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的条件，q是p的条件．(2)几点说明

①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是的；给定条件p，由p可以推出的结论q是的．p⇒q充分必要不唯一不唯一②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．③一般地

，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“”，即“若p，则q”是否为真命题．充分必要p⇒q(二)基本知能小试1．判断正误(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(

)(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．()(4)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．“x＜0或x＞4”的一个必要条件是()A．x＜0B．x＞4C．x＜0

或x＞2D．x＜－1或x＞5解析：当x＜0或x＞4时，一定有x＜0或x＞2.答案：C3．设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．(填“充分”“必要”)答案：必要4．

若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件．(填“充分”“必要”)解析：当m＝2时，m2＝4，所以A∩B＝{4}，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分条件．答案：充分知识点二充要条件(一)教材梳理填空(1)如果

“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件．p⇒qq⇒pp⇔q充要充要(二

)基本知能小试1．判断正误(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立．()答案：(1)√(2)√(3)√2．“x<2”是“1x－2<0”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要

条件D．既不充分又不必要条件解析：由1x－2<0得x－2<0得x<2，即“x<2”是“1x－2<0”的充要条件，故选A.答案：A3．设p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0，则p是q的________条件．答案：充要4．若p是q的充要条件，q是

r的充要条件，则p是r的________条件．解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．答案：充要题型一充分条件与必要条件的判定[学透用活](1)对“推出”的正确理解对于命题p：∠A＝30°，q：sinA＝12.显然p可以推出q，记为p⇒q，

而q是不能推出p的．(2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺

其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．[典例1](1)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的________条件．(填“充分”“必要”)[解析]设p：两个三角形面积相等；q：两个三角形全等，则pq，q⇒p.∴p是q的必要条件．[答案]必

要(2)判断下列说法中，p不是q的充分条件的是________．①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；②设a，b是实数，p：“a＋b＞0”，q：“ab＞0”；③p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．[解析]对①，当x＝1时，显然有x2－2x＋1＝0，故p⇒q，即p是q的充分条

件；对②，当a＝5，b＝－1时，有a＋b＞0，但ab＜0，故pq，p不是q的充分条件；③∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，∴p不是q的充分条件．[答案]②③[方法技巧]充分条件、必要条件的判断方法(1)

定义法：①分清条件p和结论q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|

q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标平面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度．[对点练清]1．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的_

_______．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件2．设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件．解：由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”

是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件．3．指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵x2＝2x＋

1x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件．(3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2

)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件．题型二充要条件的判断[学透用活]p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立．对充要条件的词

义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等．[典例2](1)“m＞14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件(2)a，b中至少有一个不为零的充要条件

是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0[解析](1)方程x2＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞14.故选B.(2)a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.[答案](1)B(2)D[方法技巧](1

)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)条件关系判定的常用结论：条件p与结论q的关系结论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是

q的既不充分又不必要条件[对点练清]1．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的________条件．解析：a＞0且b＞0⇒a＋b＞0且ab＞0，a＋b＞0且ab＞0⇒a＞0且b＞0，故填充要．答案：充要2．下列各题中，哪些p

是q的充要条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解：(1)当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x

－1时，x＝1或x＝2.∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件．(2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件．(3)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p

是q的充分不必要条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．题型三充要条件的证明[学透用活][典例3]已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.[证明]先证充分性：若a＋b＝1，则a2＋b2－

a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．再证必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0.∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，综上，a2＋

b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.[方法技巧]探求充要条件一般有两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换

，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[对点练清]1．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.证明：必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．所以Δ＝b2

－4ac＞0，x1x2＝ca＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝ca＜0.(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号

，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.2．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1y的充要条件是xy>0.证明：(1)必要性：由1x<1y，得1x－1y<0，即y－xxy<0

，又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.(2)充分性：由xy>0及x>y，得xxy>yxy，即1x<1y.综上所述，1x<1y的充要条件是xy>0.题型四充分条件与必要条件应用[学透用活][典例4]已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件

，求实数m的取值范围．[解]p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有1－m≥－2，1＋m<10或1－m>－2，1＋m≤10，解得m≤3.又

m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．[方法技巧]充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必

要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．(3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．[对点练清]1．[变条件]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围

．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以1－m≤－2，1＋m>10或1－m<－2，1＋m≥10.解得m≥

9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．2．[变问法]本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．若p是q的

充要条件，则－2＝1－m，10＝1＋m，方程组无解．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：因为{

x|－1<x<3}{x|x<3}，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C2．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件

．故选A.答案：A3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析：当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：m＝－24．已知x，y为两个正整数

，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立．可知p⇒q，反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5，但x＝2且y＝3不成立．p⇒q，qp，故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要二、创新应用题5．指出下列各命题中，p是q

的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的

充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个

角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)谢观看THANKYOUFORWATCHING谢