【文档说明】高中数学必修第一册2.2《基本不等式》PPT课件-2019人教A版.ppt，共(29)页，1.025 MB，由小喜鸽上传

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第二章·第2课基本不等式课程导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀𝑎,𝑏∈𝑅，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.特别地，如果a>0，b>0，我们用𝑎,𝑏分别代替上式中的a，b，可得𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2①当且仅当

a=b时，等号成立.课程导入通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality）.其中，𝑎+𝑏2叫做正数a，b的算术平均数，𝑎𝑏叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.课程讲解思考:上面通过考察a2+b2=2ab的特殊情

形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.课程讲解1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2abab特别的，如果a＞0,b＞0,我们用分别代替a、b，可得2abab通常

我们把上式写作：(a>0,b>0)2abab课程讲解2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.要证（2），只要证a+b-≥0（3）要

证（3），只要证（-）2≥0（4）只要证a+b≥（2）要证2abab（1）2𝑎𝑏2𝑎𝑏𝑎𝑏思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差

法）2)(ba问题探究结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立222abab≥文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R课程讲解0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？问题一22()()2

abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：课程讲解0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？问题一你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？问题二2abab≥证明：要证只要证_

______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(

ba证明不等式：2ab2abba课程讲解问题二特别地，若a>0，b>0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫

做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0课程讲解Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,

AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab课程讲解你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?探究一你能用这个图得出基本不

等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直

于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半课程讲解ABCDEabO探究一适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈

Ra＞0,b＞0填表比较：注意:从不同角度认识基本不等式课程讲解课程讲解例1已知x>0，求x＋1𝑥的最小值.分析：求x＋1𝑥的最小值，就是要求一个y0（=x0＋1𝑥），使∀x>0，都有x＋1𝑥≥y.观察x+1�

�，发现x∙1𝑥=1.联系基本不等式，可以利用正数x和1𝑥的算术平均数与几何平均数的关系得到y0=2.解：因为x>0，所以x＋1𝑥≥2𝑥∙1𝑥=2当且仅当x=1𝑥，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.课程讲解在本题的解答中，我们不仅明

确了∀x>0，有x＋1𝑥≥2，而且给出了“当且仅当x=1𝑥，即x2=1，x=1时，等号成立”，这是为了说明2是x＋1𝑥（x>0）的一个取值，想一想，当y0<2时，x＋1𝑥=y0成立吗？这时能说y.是x＋1𝑥（x>0）的最小值吗？课程讲解例2已知x，y都是正数，求

证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2𝑃；（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14𝑆2.课程讲解证明：因为x，y都是正数，所以𝑥+𝑦2≥𝑥𝑦.（1）当积xy等于定值P时，𝑥+𝑦2≥𝑃，所以𝑥+𝑦≥2𝑃，当且仅当x=y

时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2𝑃.课程讲解（2）当和x+y等于定值S时，𝑥𝑦≤𝑆2,所以𝑥𝑦≤14𝑆2，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14𝑆2.课程讲解例3（1）用篱笆围一个面积为

100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻

边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.课程讲解解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）

m.（1）由已知得xy=100.由𝑥+𝑦2≥𝑥𝑦，可得x+y≥2𝑥𝑦=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度

为40m.课程讲解（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由𝑥𝑦≤𝑥+𝑦2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.课程讲解例4某工厂要建造一

个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确

定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.课程讲解解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×

3x+2×3y）=240000+720（x+y）.课程讲解由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z≥240000+720×2𝑥𝑦，当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297

600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.abba2解：∵a，b，c都是正数∴a

＋b≥2𝑎𝑏＞0b＋c≥2𝑏𝑐＞0c＋a≥2𝑐𝑎＞0∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2𝑎𝑏·2𝑏𝑐·2𝑐𝑎＝８abc即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（

𝑎+𝑏2），几何平均数（𝑎𝑏）及它们的关系（𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤𝑎2+𝑏22，ab≤（𝑎

+𝑏2）2.课程讲解我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数

的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.再见