【文档说明】数学高中必修第一册第五章《本章综合与测试》导学案2-统编人教A版.doc，共(16)页，380.500 KB，由小喜鸽上传

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章末复习课[网络构建][核心归纳]1.任意角与弧度制(1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.(2)角度与弧度的互化：1°＝π180rad，1rad＝(180π)°.(3)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S＝12

lr＝12|α|r2.2.任意角的三角函数设任意角α的终边上任意一点P(x，y)，r＝x2＋y2，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0).3.同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；sinαc

osα＝tanα.4.诱导公式(1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.(2)功能：将k·π2±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.5.三角函数的图象(1)正弦曲线：(2)余弦曲线：(3)正切曲线：6.

三角函数的性质(表中k∈Z)y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x∈R，且x≠π2＋kπ}单调性增区间：[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，减区间：[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，减区间：[2k

π，π＋2kπ]增区间：(－π2＋kπ，π2＋kπ)周期性2π2ππ图象的对称轴x＝π2＋kπx＝kπ无图象的对称中心(kπ，0)(π2＋kπ，0)(12kπ，0)7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α±β)＝cosαcosβαsinβ

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβαtanβ8.倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝2tanα1－tan2α

9.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角且tanφ＝ba)(或asinx＋bcosx＝a2＋b2cos(x－φ)，tanφ＝ab)要点一任意角三角函数的定义利用定义求三角函数值的两种方法：(1

)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sinα＝ba2＋b2，余弦值cosα＝aa2＋b2，正切值tanα＝ba.当角α的终边上点的坐

标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【例1】已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2).(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；(2)若cosα≤0，且sinα>0，求实数m的取值范围.解(1)若m＝2，则P(－3，4)，所以x＝－

3，y＝4，r＝5，所以sinα＝45，cosα＝－35，tanα＝－43，故5sinα＋3tanα＝5×45＋3×－43＝4－4＝0.(2)由题意知，cosα＝xr≤0，sinα＝yr>0，即x≤0，y>0，所

以3m－9≤0，m＋2>0，所以－2<m≤3，即实数m的取值范围为(－2，3].【训练1】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A.－12B.12C.－32D.

32解析由题意知P(－8m，－3)且cosα＝－45，∴r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，且m>0，∴m2＝14，∴m＝12.故选B.答案B要点二同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转

化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α弦切互化.(2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝(sinα－cosα)2＋4si

nαcosα.(3)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.【例2】(1)已知tanα＝12，α

∈0，π2，则sinα－cosα＝________.解析因为tanα＝12＝sinαcosα，由sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝55，cosα＝255，所以sinα－cosα＝55－255＝－55.答案－

55(2)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.①求tanα的值；②把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值.解①由sinα＋cosα＝15，得1＋2sinαcosα＝125，所以sinαcosα＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sinα>0

，cosα<0，∴sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝（sinα＋cosα）2－4sinαcosα＝（15）2＋4825＝75，故得sinα＝45，cosα＝－35，tanα＝－43.②1cos2α－sin2α＝cos2α＋sin2αco

s2α－sin2α＝1＋tan2α1－tan2α，又tanα＝－43，所以1cos2α－sin2α＝1＋－4321－－432＝－257.【训练2】若tanα＝－43，求下列各式的值.(1)sinα－4cosα5sinα＋2cos

α；(2)sin2α＋2sinαcosα.解(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝－43－45×（－43）＋2＝87.(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαcos2α＋sin2α＝tan2α＋2tanα1＋tan2α＝（－43）2＋2×（－43）1＋（－43）2＝－825

.要点三诱导公式的应用用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，π2±α，32π±α(或k·π2±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简.(2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角

函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用.【例3】已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tanα－72π的值.解∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α

)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tanα－72π＝sin(π＋α)·－tan72π－α＝sinα·tanπ2－α＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α

＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.【训练3】已知sinα是方程2x2－x－1＝0的根，α是第三象限角，则sin（－α－32π）cos（32π－α）cos（π2－α）sin（π2＋α）·tan2(π－

α)＝________.解析∵方程2x2－x－1＝0的根为－12或1，又α是第三象限角，∴sinα＝－12，∴cosα＝－1－sin2α＝－32，∴tanα＝sinαcosα＝33，∴原式＝cosα（－sin

α）sinα·cosα·tan2α＝－tan2α＝－13.答案－13要点四三角函数式的化简三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，一般化异角为同角通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公

式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.【例4】化简：(1)（1＋sin

θ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0<θ<π)；(2)1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2.解(1)原式＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2

sinθ2－cosθ24cos2θ2＝cosθ2sin2θ2－cos2θ2cosθ2＝－cosθ2·cosθcosθ2.因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cosθ2>0，所以原式＝－cosθ.(2)原式＝cosα2sinα2

－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.【训练4】化简

：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x

＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.要点五三角函数求值三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到

的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”一般用已知角表示所求角.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范

围，确定角.【例5】(1)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A.－12B.12C.32D.－32解析原式＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.答案B(2)已知ta

nα＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4＝()A.－255B.－3510C.－31010D.255解析因为tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝12，所以tan

α＝－13，因为－π2<α<0，所以sinα＝－1010，则2sin2α＋sin2αcos（α－π4）＝2sinα（sinα＋cosα）22（cosα＋sinα）＝22sinα＝－255.答案A【训练5】已知sin(π4－α)＝513，0<α<π4，求cos2αcos（π4＋α）

的值.解∵cos(π4＋α)＝sin(π4－α)＝513，0<α<π4，∴π4<α＋π4<π2，sin(α＋π4)＝1213，又∵cos2α＝sin(π2＋2α)＝sin2(π4＋α)，∴cos2αcos（π4＋α）＝2sin（π4＋α）cos（π4＋α）cos（π4＋α）＝2

sin(π4＋α)＝2413.要点六三角恒等变换的综合应用利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤：(1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一把f(x)化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式；(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性

质.【例6】已知函数f(x)＝cosxsin(x＋π3)－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)＝cosx·(12sinx＋32cosx)－3cos2x＋34＝12sinx·cosx

－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin(2x－π3).所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x≤π4，∴－5π6≤2x－π3≤π6，∴－1≤

sin(2x－π3)≤12，∴－12≤f(x)≤14，所以，函数f(x)在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.【训练6】已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)f(x)＝2

sinωxcosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin2ωx＋π4.又f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴T＝2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π4

，由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z).要点七三角函数的图象1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的

步骤：第一步：列表，由ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x，再由ωx＋φ的值求出y的值.x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx＋φ0π2π32π2πy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出

各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象.2.由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数(1)A：由最大值、最小值来确定A.(2)ω：通过求周期T来确定ω.(3)φ：利用已知点列方程求出.【例

7】如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一部分，则其函数解析式是()A.y＝sinx＋π3B.y＝sinx－π3C.y＝sin2x＋π6D.y＝sin2x－π6解

析由题图可知A＝1，T4＝π6－－π3＝π2，∴T＝2π，ω＝2πT＝1，又1×－π3＋φ＝0，即φ＝π3，故y＝sinx＋π3.答案A【训练7】函数f(x)＝2sin(

ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.解析由题图可知T2＝11π12－5π12＝π2，∴T＝π，ω＝2πT＝2，又2×5π12＋φ＝π2，所以φ＝－π3.答案2，－π3要点八三角函数图象的

变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法【例8】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在区间－π6，5π6上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有

的点()A.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D.向左平移π6个单位长度，再把

所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析由题图象知A＝1，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2πT＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又图象过点π3，0，由五点法知2π3＋φ

＝π，所以φ＝π3，所以y＝sin2x＋π3.故将函数y＝sinx的图象先向左平移π3个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可得函数y＝sin2x＋π3的图象.答案A【训练8】将函数y＝cosx－π3的图象上各点的横

坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是()A.x＝π4B.x＝π6C.x＝πD.x＝π2解析y＝cosx－π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y＝cos12x－π3错误!y＝co

s12x＋π6－π3，即y＝cos12x－π4.由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝π2时，y＝cos12×π2－π4＝1，故选D.答案D要

点九三角函数的性质1.三角函数的周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数

一般可化为y＝Acosωx＋B的形式.3.求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sinx，cosx的有界性.(2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整

体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误.4.求三角函数的单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos

(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间.【例9】已知函数f(x)＝2sin2x－

π6＋a，a为常数.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x∈0，π2时，f(x)的最小值为－2，求a的值.解(1)f(x)＝2sin2x－π6＋a，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由2k

π－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z).(3)当x∈0，π2时，2x

－π6∈－π6，5π6，所以当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值，即2sin－π6＋a＝－2，故a＝－1.【训练9】已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(

π2，2)，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(32π，0)，φ∈(－π2，π2).(1)求这条曲线的函数解析式；(2)求函数的单调递增区间.解(1)依题意知，A＝2，14T＝32π－π2＝π，T＝4π，∴ω＝2π4π＝12，由12×π2＋φ＝2kπ＋π

2(k∈Z)得：φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，又φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π4，∴这条曲线的函数解析式为y＝2sin(12x＋π4).(2)由2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)得：4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2(k∈Z)，∴函

数的单调递增区间是[4kπ－3π2，4kπ＋π2](k∈Z).