【文档说明】数学高中必修第一册《5.5 三角恒等变换》导学案-统编人教A版.docx，共(8)页，111.050 KB，由小喜鸽上传

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1【新教材】5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（人教A版）1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；

2.逻辑推理：运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；难点：求值过程中角的范围分析及角的变

换.一、预习导入阅读课本215-218页，填写。1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝______________________________；cos(α∓β)＝__________

____________________；tan(α±β)＝______________________________.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝________________；cos2α＝________________＝________________＝___

_____________；tan2α＝2tanα1－tan2α.提醒：1．必会结论(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα

±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)．2(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2

－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋

β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)当α是第一象限角时，sinα2＝1－cosα2.()(5)半角的正余弦公式实质就

是将倍角的余弦公式逆求而得来的．()(6)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B．32C．－

12D．123．若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C．13D．234．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3题型一给角求值例1利用和（差）角公式计算

下列各式的值.3(1)sin72cos42cos72sin42;(2)cos20cos70sin20sin70;1tan15(3).1tan15跟踪训练一1.cos50°=()A.cos70°cos20°-sin70°sin20°B.cos70°sin20°-sin70°cos20°C

.cos70°cos20°+sin70°sin20°D.cos70°sin20°+sin70°cos20°2.cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6的值是()A.0B.12C.√22D.√323.求值：(1)tan75°；(2)3－tan15°1＋3tan15°.题型二给

值求值例245sin,,,cos,cos().5213已知是第三象限角，求的值例33sin,sin(),cos(),tan().5444已知是第四象限角，求的值跟踪训练二1.

(1)已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cosβ=45,则sin(α+β)=.(2)若sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=35,且α∈(π2,π),则tan(α-3π4)=.题型三给值求角例4已知tanα＝17，sinβ＝1010，且α，β为锐角，

求α＋2β的值．跟踪训练三1.若tanα=12,tanβ=13,且α∈(π,3π2),β∈(0,π2),则α+β的大小等于()A.π4B.5π4C.7π4D.9π4题型四二倍角公式应用例55sin2,,sin4cos4tan4.1342已知求，，的值4跟踪训练四1.(1)已知

α∈π2，π，sinα＝55，则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________；(2)已知sinπ4－x＝513，0<x<π4，求cos2x的值．1．3cos10°－1si

n170°＝()A．4B．2C．－2D．－42．已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C．29D．793．若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ＝()A．22B．210C．22或－210D．22或2104.化简：2cos4x－2co

s2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.5．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α∈π2，π，β∈0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．答案5小试牛刀1．(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×

.2．D.3．C.4.A.自主探究例1【答案】（1）12（2）0（3）3.1=sin7242=sin30=2=cos2070=cos90=0tan45tan15=tan603.1tan45tan15【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式跟

踪训练一1.【答案】C【解析】cos50°=cos(70°-20°)=cos70°cos20°+sin70°sin20°.2.【答案】C【解析】cos5π12cosπ6+cosπ12sinπ6=cos5π12cosπ6+sin5

π12sinπ6=cos(5π12-π6)=cosπ4=√22.3.【答案】（1）2＋3；（2）1.【解析】(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－

33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.例2【答案】33.65223cos=-1sin.512sin

-1cos,133512433cos()=coscossinsin==.51313565【解析】是第二象限角，是第三象限角，则643

cos=,tan.54243272sin()=sincoscossin==444255210243272cos()=coscossinsin==44425521037tantan1444tan()=7.3141tantan1444

3例【答案】见解析【解析】是第四象限角，；；跟踪训练二1.【答案】（1）0；（2）17【解析】(1)∵

α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∵β是第四象限角,cosβ=45,∴sinβ=-35.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×45+45×(-35)=0.(2)由已知得sin[(α-β)+β]=35,即sinα=35,又因为α∈(π2,π),所以

cosα=-45,于是tanα=-34,故tan(α-3π4)=tanα-tan3π41+tanαtan3π4=-34-(-1)1+(-34)×(-1)=17.例4【答案】π4.【解析】∵tanα＝17<1且α为锐角，∴0<α<π4.又∵sinβ＝10

10<5010＝22且β为锐角．∴0<β<π4，∴0<α＋2β<3π4.①由sinβ＝1010，β为锐角，得cosβ＝31010，∴tanβ＝13.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝17＋131－17×13＝12.7∴tan(α＋2β

)＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝12＋131－12×13＝1.②由①②可得α＋2β＝π4.跟踪训练三1.【答案】5π4.【解析】由已知得tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=12+131-12×13=1.又因为α∈(π,3

π2),β∈(0,π2),所以α+β∈(π,2π),于是α+β=5π4.例5【答案】见解析.221252,cos2=,tan2.4221312512120sin42sin2cos22;131316912119co

s42cos2121;13169sin4120tan4.cos4119【解析】，跟踪训练四1.【答案】（1）－45，35，－43；（2）120169.【解析】(1)因为α∈π2，π

，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43，故填

－45，35，－43.(2)因为x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4，又因为sinπ4－x＝513，所以cosπ4－x＝1213，所以cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×5

13×1213＝120169.8当堂检测1-3.DAA4.12cos2x5．【答案】5π4.【解析】由cosβ＝55，β∈0，π2，得sinβ＝255，tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.∵α∈π2，π，β

∈0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.