【文档说明】数学高中必修第一册《5.5 三角恒等变换》导学案2-统编人教A版.docx，共(7)页，119.004 KB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115624.html

以下为本文档部分文字说明：

1【新教材】5.5.2简单的三角恒等变换（人教A版）1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用

．1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.一、预习导

入阅读课本225-226页，填写。1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)(其中tanθ＝ba)．21．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－cosα

2C．－1＋cosα2D．1＋cosα22．2sinθ＋2cosθ＝()A．sinθ＋π4B．22sinθ＋3π4C．22sinθ＋π4D．2sinθ＋π43．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．4．已知2π＜θ＜4π，且s

inθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于．题型一化简求值问题例1设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2跟踪训练一1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，

求sinα2，cosα2，tanα2的值．题型二三角恒等式的证明例2求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.跟踪训练二1.求证：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1

）＝1＋cosxsinx.题型三三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例3已知函数f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－sinxcosx＋14.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．跟踪训练三1．已知函数f(x)＝2

3cos2x＋sin2x－3＋1(x∈R)．3(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈－π4，π4，求f(x)的值域．1．若cos2α＝－45，且α∈π2，π，则sinα＝()

A.31010B.1010C.35D．－10102．函数f(x)＝cos2x－2cos2x2(x∈[0，π])的最小值为()A．1B．－1C.54D．－543．已知sinθ2－cosθ2＝63，则cos2θ＝________．4．若3sinx－3co

sx＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．5．化简：cos3π2－α－tanα2·（1＋cosα）1－cosα(0<α<π)．6．已知函数f(x)＝sin2x－π4－22sin2x.(1)求函数f

(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的最大、最小值．答案小试牛刀41．C2．C.3.5.4.-3.自主探究例1【答案】D【解析】∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ

4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.跟踪训练一1．【答案】sinα2＝255，cosα2＝－55，tanα2＝－2.【解析】∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，

且π2＜α2＜3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.例2【答案】证明略.【解析】证明：法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin

2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan

2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，5∴原式成立．跟踪训练二1.【答案】证明略.【解析】证明：左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sin

x2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.例3【答案】(1)函

数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为22.(2)函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π8，kπ－π8，k∈Z.【解析】(1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin2x＋14＝12cosx－32sinx12cosx＋32si

nx－12sin2x＋14＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x＋14＝12(cos2x－sin2x)＝22cos2x＋π4.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为2

2.(2)由2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，k∈Z，得kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π8，kπ－π8，k∈Z.跟踪训练三1．【答案】(1)最小正周期为T＝π.(2)函数f(x)的单调递增区间为

kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)值域为[0，3]..6【解析】f(x)＝sin2x＋3(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数

f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－5π6≤2x≤2kπ＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)∵x∈－π

4，π4，∴2x＋π3∈－π6，5π6，∴sin2x＋π3∈－12，1.∴f(x)∈[0，3].当堂检测1-2.AD3.794．－π65．【答案】原式＝－22cosα2.【解析】因为tanα2＝sinα

1＋cosα，所以(1＋cosα)tanα2＝sinα.又因为cos3π2－α＝－sinα，且1－cosα＝2sin2α2，所以原式＝－sinα－sinα2sin2α2＝－2sinα2sinα2＝－22sinα2cosα2sinα2.因为0<α<π，所以0<α2<

π2.所以sinα2>0.所以原式＝－22cosα2.6．【答案】(1)f(x)图象的对称轴方程是x＝12kπ＋π8(k∈Z)．对称中心的坐标是12kπ－π8，－2(k∈Z)．(2)所以当x＝π2时，f(x)取最小值－322，

当x＝π8时，f(x)取最大值1－2.7【解析】f(x)＝22sin2x－22cos2x－22·1－cos2x2＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin2x＋π4－2.(1)令2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝12kπ＋π8(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x

＝12kπ＋π8(k∈Z)．令2x＋π4＝kπ(k∈Z)，得x＝12kπ－π8(k∈Z)．所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是12kπ－π8，－2(k∈Z)．(2)当0≤x≤π2时，π4≤2x＋π4≤5π4，－22≤sin2x＋π4≤1，所以当x＝π2时，f(x)取最小值－

322，当x＝π8时，f(x)取最大值1－2.