【文档说明】数学高中必修第一册《5.3 诱导公式》导学案2-统编人教A版.docx，共(11)页，226.679 KB，由小喜鸽上传

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5.3诱导公式(二)学习目标1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点一公式五1．角π2－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．2．公式：sinπ2－α＝cosα，c

osπ2－α＝sinα.思考设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？答案P2(y，x)．知识点二公式六1．公式：sinπ2＋α＝cos

α，cosπ2＋α＝－sinα.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α.思考如何由公式四及公式五推导公式六？答案sinπ2＋α＝sinπ－π2－α＝sinπ

2－α＝cosα，cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα.预习小测自我检验1．若cosA＝12，那么sinπ2＋A＝.答案122．已知sinα＝23，则cos

π2－α＝.答案23解析cosπ2－α＝sinα＝23.3．已知sinα＝35，α为第二象限角，则cos32π－α＝.答案－354．若α＋β＝π2且sinα＝15，则cosβ＝.答案15解析因为α＋β＝π2，所以β＝π2－

α，所以cosβ＝cosπ2－α＝sinα＝15.一、化简求值例1(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2答案B解析sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－

31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.(2)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋

α的值为．答案12解析cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.延伸探究1．将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos5π6＋α的值．解cos5π6＋α＝cosπ2＋

π3＋α＝－sinπ3＋α＝－12.2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin7π6＋α的值．解因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角，所以cosπ3－α＝－32，所以sin7π6＋α＝si

nπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝32.反思感悟解决化简求值问题的策略：(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形，向所求式

转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．提醒：常见的互余关系有：π3－α与π6＋α，π4＋α与π4－α等；常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等．跟踪训练1(1)已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于()A.223B

．－223C.13D．－13答案D解析cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4＝－sinα－π4＝－13.(2)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα等于()A．－25B．－15C.15D.25答案C解析sin5π2＋α＝sin2

π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.二、证明恒等式例2求证：2sinθ－32πcosθ＋π2－11－2sin2θ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.证明左边＝－2cosθ·sinθ－1cos2θ－sin2θ＝－sinθ＋cosθ2cosθ－sin

θcosθ＋sinθ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1，右边＝tanθ＋1tanθ－1，所以原等式成立．反思感悟三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归

一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练2求证：cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ＋cosπ－θcosθsin

32π－θ－1＝2sin2θ.证明左边＝cosθ－cosθcosθ＋cosθ＋－cosθcosθ－cosθ－1＝11－cosθ＋11＋cosθ＝1＋cosθ＋1－cosθ1－cosθ1＋cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边，∴原等式成立．三、诱导公式的综合应用例3已知

cosα＝－45，且α为第三象限角．(1)求sinα的值；(2)求f(α)＝tanπ－α·sinπ－α·sinπ2－αcosπ＋α的值．解(1)因为α为第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35.(2)f(α)＝

－tanα·sinα·cosα－cosα＝tanα·sinα＝sinαcosα·sinα＝sin2αcosα＝－352×－54＝－920.延伸探究1．本例条件不变，求f(α)＝sin5π－αcos7π2－αtan－π＋α－tan－19π－αsin－α的值

．解f(α)＝sinα·－sinα·tanαtanα·－sinα＝sinα＝－35.2．本例条件中“cosα＝－45”改为“α的终边与单位圆交于点Pm，154”，“第三象限”改为“第二象限”，试求sinα－π2sinπ＋α－sin3π2

－α＋1的值．解由题意知m2＋1542＝1，解得m2＝116，因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－14，所以sinα＝154，cosα＝－14.原式＝－cosα－sinα－－cosα＋1＝14－154－14＋1＝－3＋156.反思感悟用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角

函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3已知

角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点Pa，35，求sinπ2＋α＋2sinπ2－α2cos3π2－α的值．解因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点Pa，35，所以a2＋925＝1(a<0)，所以a＝－45，所以si

nα＝35，cosα＝－45，所以原式＝cosα＋2cosα－2sinα＝－32·cosαsinα＝－32×－4535＝2.1．sin95°＋cos175°的值为()A．sin5°B．cos5°C．0D．2sin5°答案C解析

原式＝cos5°－cos5°＝0.2．已知cosπ2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tanφ等于()A．－33B.33C．－3D.3答案C3．若sinπ2＋θ<0，且cosπ2－θ>0，则θ是()A．第

一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案B解析由于sinπ2＋θ＝cosθ<0，cosπ2－θ＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.4．若cosα＝15，且α是第四象限角，则cosα＋5π2＝.答案265解析由题意得sinα＝－

1－cos2α＝－265，所以cosα＋5π2＝－sinα＝265.5．化简：sin(π＋α)cos3π2＋α＋sinπ2＋αcos(π＋α)＝.答案－1解析原式＝－sinα·sinα－cosα·cosα＝－1.1．知识清单：利用

诱导公式进行化简、求值与证明．2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．1．已知sin25.3°＝a，则cos64.7°等于()A．aB．－aC．a2D.1－a2答案A

解析cos64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin25.3°＝a.2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B.12C.32D．－32答案A解析∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，∴sinα＝12.∴cos7π

2－α＝cos3π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－12.3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－2a3B．－3a2C.2a3D.3a2答案B解析由sin(180°＋α)＋co

s(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝a2.cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32a.4．如果角θ的终边经过点－35，45，那么s

inπ2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于()A．－43B.43C.34D．－34答案B解析易知sinθ＝45，cosθ＝－35，tanθ＝－43.原式＝cosθ－cosθ－tanθ＝43.5．已知sinα＋π3＝35，则co

sπ6－α的值是()A．－35B.35C.45D．－45答案B解析因为cosπ6－α＝cosπ2－π3＋α＝sinπ3＋α＝35，故选B.6．已知sinα＝35，则cosα－3π2＝.答案－35解

析cosα－3π2＝cos3π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－35.7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝.答案52解析原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋s

in288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋222＝1＋1＋12＝52.8．已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sinπ－α＋cosπ＋α5cos5π2－α＋3

sin7π2－α＝.答案17解析因为cosπ2＋α＝2sinα－π2，所以sinα＝2cosα.原式＝sinα－cosα5sinα－3cosα＝2cosα－cosα10cosα－3cosα＝17.9．已知sin(π－α)－cos(

π＋α)＝23π2<α<π，求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α.解(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23，两边平方整理得2sinα

cosα＝－79，又π2<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1＋79＝43.(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos3α－sin3α＝(co

sα－sinα)(cos2α＋cosαsinα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：sinα＋3π2·si

n3π2－α·tan22π－α·tanπ－αcosπ2－α·cosπ2＋α的值．解∵5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－35，∴sinα＝－35.又∵α为第三象限角，∴cosα

＝－1－sin2α＝－45.∴tanα＝34.∴原式＝－cosα·－cosα·tan2α·－tanαsinα·－sinα＝tanα＝34.11．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cosπ2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝

1，则sinα等于()A.355B.377C.31010D.13考点综合运用诱导公式化简与求值题点综合运用诱导公式求值答案C解析由题意，得－2tanα＋3sinβ＝－5，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，又α为锐角，sin2α

＋cos2α＝1，可得sinα＝31010.12．化简：sinθ－5πcos－π2－θcos8π－θsinθ－3π2sin－θ－4π等于()A．－sinθB．sinθC．cosθD．－cos

θ答案A解析原式＝sinθ－πcosπ2＋θcosθcosθsin－θ＝－sinθ－sinθcosθcosθ－sinθ＝－sinθ.13．若sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12＝.答案－13解析c

osα＋7π12＝cosπ2＋α＋π12＝－sinα＋π12＝－13.14．已知sinθ－π3＝13，则sinθ＋2π3＝，cosθ－5π6＝.答案－1313解析sin

θ＋2π3＝sinπ＋θ－π3＝－sinθ－π3＝－13；cosθ－5π6＝cosθ－π3－π2＝sinθ－π3＝13.15．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是()A．cos(A＋B)＝cos

CB．sin(A＋B)＝－sinCC．cosA＋C2＝sinBD．sinB＋C2＝cosA2答案D解析因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，A＋C2＝π－B2，B＋C2＝π－A2，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝s

inC，cosA＋C2＝cosπ2－B2＝sinB2，sinB＋C2＝sinπ2－A2＝cosA2.16．是否存在角α，β，α∈－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cosπ2－β，3cos(－α)＝－2cos(π

＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则sinα＝2sinβ，①3cosα＝2cosβ，②由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝12，∵α∈－π2，π2，∴cosα＝22，∴α＝±π4.当

α＝π4时，cosβ＝32，∵0<β<π，∴β＝π6；当α＝－π4时，cosβ＝32，∵0<β<π，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．