【文档说明】数学高中必修第一册《5.1 任意角和弧度制》导学案5-统编人教A版.docx，共(8)页，291.944 KB，由小喜鸽上传

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1【新教材】5.1.2弧度制（人教A版）1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角

的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．一、预习导入阅读课本172-174页，填写。1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义

：用_________作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的_________．(2)弧度制①定义：以_________作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于_________的弧所对的圆心角．2．弧度数的计

算23.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°________120°135°150°________360°弧度0________π3π2____________π3

π2____5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝________．(2)扇形面积公式：S＝________＝________．1．下列说法中错误的是()A．1弧度的角是周角的1360B．弧度

制是十进制，而角度制是六十进制C．1弧度的角大于1度的角D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．

34．－274π是第________象限的角．题型一角度制与弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.题型二

用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②题型三扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长

为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？4跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为()A.480cmB.240cmC2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的

面积.1．下列说法中，错误的是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1的角是周角的1360，1rad的角是周角的12C.1rad的角比1的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径

有关2．300化为弧度是（）A．43B．53C．54D．763．下列各角中，终边相同的角是()A.23和240B.5和314oC.79和299D.3和34．半径为10cm，面积为2100

cm的扇形中，弧所对的圆心角为（）A．2radB．2C．2πradD．10rad5．与30角终边相同的角的集合是（）A．|360,}6kkZB．|230,kkZ5C．|236030,kk

ZD．|2,6kkZ6．弧长为3，圆心角为135的扇形，其面积为____.7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.答案

小试牛刀1．A2．(1)252°；(2)7π12.3．π34.三自主探究例1【答案】（1）－5π2rad；(2)18°；(3)－240°；(4)5π8rad.【解析】(1)－450°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×

180π°＝18°；6(3)－4π3rad＝－4π3×180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.跟踪训练一1．【答案】（1）π9rad；（2）－π12rad；（3）105°

；（4）－396°.【解析】(1)20°＝20π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15π180rad＝－π12rad.(3)7π12rad＝712×180°＝105°.(4)－11π5rad＝－115×180°＝－396°.例2【答案】（1）

θ－π6＋2kπ<θ<512π＋2kπ，k∈Z；（2）θ－3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z；（3）θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，

k∈Z.【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)(2)θ－3π4＋2kπ<θ<3π4＋2kπ，k∈Z.(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋k

π，k∈Z.跟踪训练二1．【答案】(1)α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)α2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.【解析】(1)如题图①，以OA

为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，7所以阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为

2π3＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋

2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.例3【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2ra

d时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25

(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．跟踪训练三1、【答案】C【解析】:80°=×80=,又r=6cm,故弧长l=αr=×6=(cm).2、【答案】12π-9√【解析】S扇形AOB=×62=12π,

8S△AOB=×6×6×sin60°=9√,故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9√.当堂检测1-5．DBCAD6.6π7．【答案】(1){α|𝜋＋2kπ<α<𝜋＋2kπ，k∈Z}；(2){α|－𝜋6＋2kπ<α≤5𝜋＋2kπ，k∈Z}；(3)

{α|kπ≤α≤𝜋＋kπ，k∈Z}；(4){α|𝜋＋kπ<α<5𝜋6＋kπ，k∈Z}.【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|𝜋＋2kπ<α<𝜋＋2kπ，k∈

Z}．(2)若将终边为OA的一个角改写为－𝜋6，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－𝜋6＋2kπ<α≤5𝜋＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴

上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤𝜋＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|𝜋＋kπ<α<5𝜋6＋kπ，k∈Z}．