【文档说明】数学高中必修第一册《3.4 函数的应用（一）》导学案2-统编人教A版.doc，共(15)页，437.000 KB，由小喜鸽上传

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3.4函数的应用(一)课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素

养.教材知识探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：年份201520162017销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的

需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.问题1在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？问题2如果我们

分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第

x年的关系？问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.1.常见的函数模型常见函数模型一次函数模型y＝kx＋b

(k，b为常数，k≠0)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)幂函数模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)2.解决函数应用问题的步骤(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原

.(2)这些步骤用框图表示如图：教材拓展补遗[微判断]1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(√)2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：(1)前5分钟温度增加越来越快.

(×)(2)前5分钟温度增加越来越慢.(√)(3)5分钟后温度保持匀速增加.(×)(4)5分钟后温度保持不变.(√)[微训练]1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.解析由题意可知2y＋2x＝4

0，即y＝20－x，易知0<x≤10.答案y＝20－x(0<x≤10)2.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.解析

L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.答案2500[微思考]一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的

增长速度是如何变化的？提示一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝axn＋b(x

>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.题型一一次函数模型函数的图象确定了函数的类型【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(

分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2

＝k2x，得k1＝16，k2＝12.∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥0).(2)令y1＝y2，即16x＋30＝12x，则x＝90.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1

<y2，使用如意卡便宜.规律方法在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.【训练1】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析

式为________.解析设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由30＝k×80＋b，20＝k×120＋b，解得k＝－14，b＝50，∴y＝－14x＋50(0<x<200).答案y＝－14x＋50(0<x<200)题型二

幂函数与二次函数模型【例2】(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.(2)商场销售某

一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？②通常情况下，获取最

大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？(1)解析由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.

所以当x＝5时，y＝125.答案125(2)解①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)

＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400

x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.规律方法1.幂函数应用的常见题型(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确

函数关系式.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(

2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练2】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨

时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解(1)设y＝a(x－15)2＋17.

5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，解得a＝110.所以y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25).(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－11

0（x－15）2＋17.5＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25).所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.题型三分段函数模型【例3】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t(件

)，价格近似满足于f(t)＝15＋12t（0≤t≤10），25－12t（10<t≤20）(元).(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；日销售额等于价格乘以销售量(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解(1)由已

知，由价格乘以销售量可得：y＝15＋12t（80－2t）（0≤t≤10），25－12t（80－2t）（10<t≤20），＝（t＋30）（40－t）（0≤t≤10），（50－t）（40－t）（10<t≤20），

＝－t2＋10t＋1200（0≤t≤10），t2－90t＋2000（10<t≤20）.(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10

]单调递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，∴yma

x＝1200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).规律方法应用分段函数时的三个注意点(1)分段

函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练3】某种商品在30天内每件的销售价

格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：t/天5102030Q/件35302010(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价

格P与时间t的函数关系式；(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).解(1)由已知可得：P＝t＋20，0<t<25，t∈N＋，－t＋100，

25≤t≤30，t∈N＋(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由题意y＝（t＋20）（－t＋40），0<t<25，t∈N＋，（－t＋100）（－t

＋40），25≤t≤30，t∈N＋，＝－（t－10）2＋900，0<t<25，t∈N＋，（t－70）2－900，25≤t≤30，t∈N＋.当0<t<25，t＝10时，ymax＝900，当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－7

0)2－900＝1125.∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元.一、素养落地1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.2.建立数学模型是解决数学问题的主要

方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.二、素养训练1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A.y＝2tB.y＝120tC.y＝2t(t≥0)D.y＝120t(t≥

0)解析因为90min＝1.5h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).答案D2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准(mm)22022523

0235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米()A.150B.200C.180D.210解析设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码.

则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.答案B3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共

纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为()A.2800元B.3000元C.3800元D.3818元解析由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y＝0（0<x≤800），（x－800）·14%（800<x≤4000），11.2%·x（x>4000），令(x－8

00)×0.14＝420，解得x＝3800，令11.2%x＝420，得x＝3750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3800元，故选C.答案C4.用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.解析设矩形的一边长为xm，则与这条边垂直的边长为1

2－2x2m，所以矩形面积S＝x·12－2x2＝－x2＋6x(0<x<6)，当x＝3m时，S最大＝9m2.答案95.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总

量为1006t(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.解设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－1006t(0≤t≤24).设u＝t，则u∈[0，26]，y＝60u2－1006u＋400＝60u－5662＋150，∴当u＝566即t＝256时，蓄水池

中的存水量最少.基础达标一、选择题1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A.200副B.400副C.600副D.80

0副解析由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.答案D2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

()A.p＋q2B.（p＋1）（q＋1）－12C.pqD.（p＋1）（q＋1）－1解析设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案D3.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购

物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计()A.280元B.320元C.340元D.360元解析由题意可知，1460＝1400＋20＋40，1400元现金可送280元购物券，把280

元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元).答案D4.如图是一份统计图表，根据此图表得

到的以下说法中正确的是()①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.A.1项B.2项C.3项D.4项

解析由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”在2010～2011年最陡.故②正确，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略

呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故选C.答案C5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数

据，可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a

＋5b＋c，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.0.∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－15t－1542＋1316.当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案B二、填空题6.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(

台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.解析设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500，故当x＝50时

，获得利润最大.答案507.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，

这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0<x<13)(桶)，则y＝(520－40x)

x－200＝－40x2＋520x－200，0<x<13.当x＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.答案11.58.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3

km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km

.解析设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝9，0<x≤3，8＋2.15（x－3）＋1，3<x≤8，8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x>8，由y＝22.6，解得x＝9.答案9三、解答题9.某市居民

生活用水收费标准如下：用水量x/t每吨收费标准/元不超过2t部分m超过2t不超过4t部分3超过4t部分n已知某用户1月份用水量为8t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)若某用户

3月份用水量为3.5t，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.解(1)由题设可得y＝mx，0≤x≤2，2m＋3（x－2），2<x≤4，2m＋6＋n（x－4

），x>4.当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，代入得2m＋6＋4n＝33，2m＋6＋2n＝21，解得m＝1.5，n＝6.∴y关于x的函数解析式为y＝1.5x，0≤x≤2，3x－3，2<x≤4，6x－15，x>4.(2)当x＝3.5时，

y＝3×3.5－3＝7.5.∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.∴该用户最多可以用6.5t水.10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30

人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)

当0<x≤30时，y＝900；当30<x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝900，0<x≤30，1200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社所获利润为S元，则当0<x≤30时，S＝900x－15000；当30<x≤75，S＝x(1200－1

0x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝900x－15000，0<x≤30，－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.因为当0<x≤30时，S＝900x－15000

为增函数，所以x＝30时，Smax＝12000；当30<x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60时，Smax＝21000>12000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得

最大利润.能力提升11.经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋1t(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝100t（1≤t

≤7，t∈N*），130－t（7<t≤30，t∈N*）.(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；(2)求该商场日收益的最小值(千元).解(1)由题意w(t)＝f(t)·g(t)＝100t

4＋1t（1≤t≤7，t∈N*），（130－t）4＋1t（7<t≤30，t∈N*）.＝400t＋100（1≤t≤7，t∈N*），519－4t＋130t（7<t≤30，t∈N*）.(2)当1≤t≤7时，w(

t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500；当7<t≤30时，w(t)单调递减，最小值在t＝30时取到，w(30)＝519－120＋13030＝12103.由12103<500，可得w(t)的最

小值为12103.所以，该商场日收益的最小值为12103千元.12.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订

购量不会超过600件.(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解(1)当0<x≤100时，p＝60；当100<x≤60

0时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝60，0<x≤100，62－0.02x，100<x≤600.(2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22

x－0.02x2.∴y＝20x，0<x≤100，22x－0.02x2，100<x≤600.当0<x≤100时，y＝20x是增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；当100<x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－5

50)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.显然6050>2000.∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元.