【文档说明】数学高中必修第一册《2.2 基本不等式》ppt课件-统编人教A版.ppt，共(55)页，1.691 MB，由小喜鸽上传

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2.2基本不等式（共2课时）第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标情境导学思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案

中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。22222222)2(2)()214cbacaabbabcabab（证明：情境导学ab（1）大正方形边长为___________，面积S为______________（2）四个直角三

角形________，面积和S’为_______________（3）S与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22ba22ba全等ab2'SSabb

a222探究新知ab上述结论可描述为：abbaba20,022时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（ba5时取等）。当且仅当证明：baabbabababa(202

0)(22222此不等式称为重要不等式探究新知1、基本不等式0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当baba2abab≥即：基本不等式基本不等式abba2注意：0

,01ba、时取等、取等条件：当且仅当ba2叫几何平均数叫算术平均数，、abba23基本不等式基本不等式的几何解释ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=_

_____①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C在什么位置时OD=CD？此时a与b的关系是？基本不等式的证明2abab≥证明：要证只要证___

____ab≥只要证_____0ab≥只要证2(______)0≥显然,上式是成立的.当且仅当a=b时取等。2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均

数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0的最小值。求）已知、（例baabba,36,0,011解：2223612(612abababababab+³\+?===+Q当且仅当时取等）故的最小值为的最小值为定值时，求和当积常

用变形：baababba2典例解析的最大值。求）已知（abbaba,18,0,02解：819(81)218()2(222的最大值为故时取等）当且仅当abbabaabbaab的最大值为定值时，可以求积当和常用变形

：abbabaab2)2(典例解析1210,()xfxxx<=+例、（）已知求函数的最小值.22)1()(2)]()[(1)(:时有最小值即当且仅当解1xx1xx1xxxxxxf一正典例解析有最值，并求其最值。为何值时，函数

当函数）已知、（例xxxyx,31,3225331)3(233-x1)3-x(31y3xxxxx。最小值为时，函数有最小值，即当且仅当54,313xxx二定解：的最大值。求函数）若、（例)21(,2103

2xxyx解:∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙*+22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.1418三等30,4(32)2xyxx<

<=-练习：1.设求函数的最大值。）时取等，（即当且仅当解：2304323229)2232(2)23(220232302xxxxxxxyxx-跟踪训练221()22fxxx=+++2.函数能否用基本不等式求最小值？解：基本不等式

求最小值。能的，故此函数不能用时取等，而这是不可即当且仅当由基本不等式知12212221222122222222xxxxxxx利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。跟踪训练1．下列不等式

中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：选D.a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．达标检测

2．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2B．aC.2aa－1D．3解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．3．若a，b都是正数，则1＋ba

1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：选C.因为a，b都是正数，所以1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．4．已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1，则x＋y的最小值为__

______．解析：x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝10＋6＝16.即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16.答案：161、重要不等式与基本不等

式的内容：时取等），当且仅当、baRbaabba(222时取等）当且仅当babaabba,0,0(22、基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等3、基本不等式的应用：求最值课堂小结2.2基本不等式（第2课时）1．判断正误．(正确的打

“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(3)函数f(x)＝x2＋2x2＋1的最小值为22－1.()××√小试牛刀2．已知x＋y＝1且x>0，y>0，则1x＋1y的最小值是()A．2B．

3C．4D．6解析：法一：1x＋1y＝x＋yxy＝1xy≥1x＋y22＝4，当且仅当x＝y＝12时取等号，法二：1x＋1y＝x＋yx＋x＋yy＝2＋yx＋xy≥4，当且仅当x＝y＝12时取等号．答案：C3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，

则xy的最大值是()A.14B.18C．4D．.8解析：因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以xy＝12×2xy≤122x＋y22＝18，当且仅当2x＝y>0，即x＝14，y＝12时取等号，此时，xy的最大值是18.故选B.答案：B问

题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ABDC问题探究解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy

2100,xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.2()40xy问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园

，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？18922xyxy解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym281xy当且仅当

x=y,即x=y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.例1:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池

,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?3m均值不等式在实际问题中的应用4800z150120(23x23y)240000720(xy)3

240000720(xy)2400007202xy解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800，因此xy=1600z24000072021600z297600当x=y,即x=y=40时,

等号成立.所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.即：1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度

均为2m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大

值为多少？跟踪训练[解析](1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y，则y＝3000x(6<x<500)，S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·y－62＝(x－5)(y－6)＝3030－

6x－15000x(6<x<500)．(2)S＝3030－6x－15000x≤3030－26x·15000x＝3030－2×300＝2430．当且仅当6x＝15000x，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，Smax＝2430.即设计x＝50m，y＝60m时，运

动场地面积最大，最大值为2430m2．2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为105x－402，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？跟踪训练解析：方法一：设当销售价格为每

件x元时，获得的利润为y，由题意知，y＝(x－50)·105x－402＝(x－50)·105x－502＋20x－50＋100＝105x－50＋100x－50＋20.∵x－50≥0，∴x－50＋100x－50≥20，∴y≤10520＋20＝250

0，当且仅当x－50＝100x－50，即x＝60或x＝40(舍去)时，等号成立，ymax＝2500.方法二：由题意知，y＝(x－50)·105x－402，令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)，则y＝105tt＋102＝105

tt2＋20t＋100＝105t＋100t＋20≤10520＋20＝2500，当且仅当t＝100t，即t＝10时，等号成立，此时x＝60，ymax＝2500.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2

500元．求实际问题中最值的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式

求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．归纳总结利用基本不等式证明简单的不等式例2已知a,b都是正数,且a+b=1,求证:1+1𝑎1+1𝑏≥9.分析:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可

.证明:因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1𝑎=1+𝑎+𝑏𝑎=2+𝑏𝑎,同理1+1𝑏=2+𝑎𝑏,故1+1𝑎1+1𝑏=2+𝑏𝑎2+𝑎𝑏=5+2𝑏𝑎+𝑎𝑏≥5+4𝑏𝑎·𝑎𝑏=5+4=9.

所以1+1𝑎1+1𝑏≥9当且仅当𝑎=𝑏=12时,等号成立.1.已知：a，b，c∈R＋，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.跟踪训练证明：由基本不等式：bca＋cab≥2bca·cab＝2c，同理：cab＋abc

≥2a，abc＋bcc≥2b.三式相加即得：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2ab(a＞0，b≥0)时，关键是对式子恰当地变形，合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用．归纳总结

1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．210D[解析]a＋b≥2ab＝210，等号在a＝b＝10时成立，∴选D．当堂达标2．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A．a<

v<abB．v＝abC．ab<v<a＋b2D．v＝a＋b2A[解析]设从甲地到乙地的路程为s，则v＝2ssa＋sb＝21a＋1b＝2aba＋b<2ab2ab＝ab．∵a<b，∴v－a＝2aba＋b－a＝ab－aa＋b>0，∴v>a．∴a<v<ab.故

选A．3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：本题考查基本不等式及其应用．设总费用为y万元，则y＝600x×6＋4x＝4x＋900x≥240.当

且仅当x＝900x，即x＝30时，等号成立．答案：304.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：①仓库面积S的最

大允许值是多少？②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x·

90y＋20xy＝120xy＋20xy，＝120S＋20S.所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，②取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．5.已知a>0,

b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9.证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,所以1𝑎+1𝑏+1𝑐=1𝑎+1𝑏+1𝑐(a+b+c)=3+𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+𝑎𝑐+𝑐𝑏+𝑏𝑐≥3

+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故1𝑎+1𝑏+1𝑐≥9.2、利用基本不等式求最值时，要注意1、已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时

,取“=”号).14一正二定三相等实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果课堂小结3、数学建模需注意的问题