【文档说明】高中必修第一册《5.1 任意角和弧度制》教学课件-统编人教A版.ppt，共(31)页，1.424 MB，由小喜鸽上传

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第五章三角函数5.1.2弧度制课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直

观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.自主预习，回答问题阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1．1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？•

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用_____作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______．度1360弧度半径长(2)弧度制①定义：

以作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算lr正数负数0思考：比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关

．3．角度制与弧度制的换算(180π)°π1804．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°120°135°150°360°弧度π3π2π3π260°90°180°270°0π6π42π33π45π62π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜

α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝．(2)扇形面积公式：S＝＝．αR12lR12αR2小试身手1．下列说法中错误的是()A．1弧度的角是周角的1360B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制C．1弧度的角大

于1度的角D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度解析：A错误，1弧度的角是周角的12π.B、C、D都正确．2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．解析：(1)7π5＝7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π18

0rad＝7π12rad.3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．解析：由已知得S扇＝12×π6×22＝π3.解析：－274π＝－8π＋5π4，∵5π4是第三象限角，∴－274π也是第三象限角．4．－274π是第________象限的

角．题型分析举一反三题型一角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．解析：(1)－450

°＝－450×π180rad＝－5π2rad；(2)π10rad＝π10×180π°＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.解题方法（角度制与弧度制转化）角

度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．[跟踪训练一]1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解析：(1)20°＝20π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15π180rad

＝－π12rad.(3)7π12rad＝712×180°＝105°.(4)－11π5rad＝－115×180°＝－396°.题型二用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴

影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．解析：用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)θ－π6＋2kπ<θ<512π＋2kπ，k∈Z.(2)θ－3π4＋2kπ<θ<3π4＋

2kπ，k∈Z.(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z.解题方法（表示角的集合注意事项）[跟踪训练二]1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①

②解析：(1)如题图①，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)如题图②，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋

2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜π3＋

2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.题型三扇形的弧长与面积问题【例3】一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值解析：设扇形的圆心角为α，

半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－

5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项）弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面

积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2和S＝12lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6cm,则该圆心角对应的弧长为()A

.480cmB.240cmC.8π3cmD.4π3cm[跟踪训练三]2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.[跟踪训练三]