【文档说明】高中必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》PPT课件2-统编人教A版.ppt，共(56)页，2.872 MB，由小喜鸽上传

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2.1等式性质与不等式性质（共2课时）第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（第1课时）购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1m(含1.1m)而不超过1.5m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名

身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？情景导学不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数

式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.概念解析不等式探究1用不等式表示不等关系例1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系

的不等式．问题与探究[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4000mm；②截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组

表示上述不等关系．[解析]设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：500x＋600y≤40003x≥yx≥0y≥0，即5x＋6y≤403x≥yx≥0y≥0.用

不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待

求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．归纳总结1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？[解析]提价后杂志的定价为x元，则销售的总收

入为(8－x－2.50.1×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x－2.50.1×0.2)x≥20.跟踪训练2．某工厂在招标会上，购得甲材料xt，乙材料yt，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120t，则x、y应满足

的不等关系是()A．x＋y>120B．x＋y<120C．x＋y≥120D．x＋y≤120C[解析]由题意可得x＋y≥120，故选C．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a____

__b；如果a－b是负数，那么a______b；如果a－b等于零，那么a______b.大><＝问题与探究探究2比较数或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．[解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴

(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．问题与探究比较两个实数(或代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；(3)判断差的符号

：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．归纳总结1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关A[解

析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0，∴M>N，故选A．跟踪训练2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；3.设a∈R且a≠0，比较a与1a的大小．跟踪训练[解析]2.x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2

＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－1a＝a－1a＋1a当a＝±1时，a＝1a；当－1＜a＜0或a＞1时，a＞1a；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜1a.1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦

工需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是()A.5x+4y<200B.5x+4y≥200C.5x+4y=200D.5x+4y≤200当堂达标答案：D2.若A=1𝑥2+3与B

=1𝑥+2,则A与B的大小关系是()A.A>BB.A<BC.A≥BD.不确定解析：由于A-B=1𝑥2+3-1𝑥+2=1𝑥-122+34≥34>0,所以A>B,故选A.答案：A当堂达标3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物

,并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400当堂达标解析：由题意知xkg的甲种食物中含有维生

素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(

800x+400y)单位,则有600𝑥+700𝑦≥56000,800𝑥+400𝑦≥63000,𝑥≥0,𝑦≥0,即6𝑥+7𝑦≥560,4𝑥+2𝑦≥315,𝑥≥0,𝑦≥0.当堂达标4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边

都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.解析：各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对

的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x应满足的不等关系为5-𝑥>0,(5-𝑥)+(12-𝑥)>13-𝑥,(5-𝑥)2+(12-𝑥)2<(13-𝑥)2.当堂达标5.比较下列各

组中的两个实数或代数式的大小:(1)2x2+3与x+2,x∈R;(2)a+2与31-𝑎,a∈R,且a≠1.当堂达标解析(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2𝑥-142+78≥78>0,所以2x2+3>x+2.(2

)(a+2)-31-𝑎=(𝑎+2)(1-𝑎)-31-𝑎=-𝑎2-𝑎-11-𝑎=𝑎2+𝑎+1𝑎-1.由于a2+a+1=𝑎+122+34≥34>0,所以当a>1时,𝑎2+𝑎+1𝑎-1>0,即a+2>31-𝑎;当a<1时,𝑎2+𝑎+1𝑎-1<

0,即a+2<31-𝑎.故当a>1时,a+2>31-𝑎;当a<1时,a+2<31-𝑎.当堂达标课堂小结1.不等式与不等关系(1)不等式的定义所含的两个要点.①不等符号>,<,≥,≤或≠.②所表示的关系是不等关系.(2)不等式中的文字语言与符号语

言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言>≥<≤≤≥≥≤2．比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果a>b，那么a－b是；如果a<b，那么a－b是；如果a＝b，那么a－b，反之亦然a>b⇔____

____a<b⇔________a＝b⇔_________正数负数等于0a－b>0a－b<0a－b＝02.1等式性质与不等式性质（第2课时）你能回忆起等式的基本性质吗？温故知新性质1若a=b,则b=a;性质2若a

=b,b=c,则a=c;性质3若a=b,则a±c=b±c;性质4若a=b,则ac=bc;性质5若a=b,0c¹,则abcc=;类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？-28-(1)对称性文字语言不等式两边互换后,再将

不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价符号语言a>b⇔b<a作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明:∵a>b,∴a-b>0.由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a.同理可证,如果b<a,那

么a>b.新知探究不等式的性质-29-1.与m≥(n-2)2等价的是().A.m<(n-2)2B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤mD.(n-2)2<m答案:C跟踪训练-30-(2)传递性文字语言如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三

个量,那么第一个量大于第三个量符号语言a>b,b>c⇒a>c变形a≥b,b≥c⇒a≥c;a<b,b<c⇒a<c;a≤b,b≤c⇒a≤c作用比较大小或证明不等式你能证明这个性质吗？新知探究-31-(3)加法法则文字语言不等式的两边都加上同

一个实数,所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b⇒a+c>b+c变形a<b⇒a+c<b+ca≤b⇒a+c≤b+ca≥b⇒a+c≥b+c作用不等式的移项,等价变形证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c..新知探究-32-(4)乘法法

则文字语言不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.符号语言a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bc变形a≥b,c>0⇒ac≥bca≥b,c<0⇒ac≤bca<b,c

>0⇒ac<bca<b,c<0⇒ac>bca≤b,c>0⇒ac≤bca≤b,c<0⇒ac≥bc作用不等式的同解变形新知探究证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当c>0时,(a

-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac<bc.-33-1.该性质不能逆推,如ac>bca>b.2.ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0.3.不等式两边仅能同乘(或除以)一个符号确定的非零实数.归纳总结-3

4-(5)加法单调性文字语言两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.符号语言a>b,c>d⇒a+c>b+d变形a<b,c<d⇒a+c<b+da≥b,c≥d⇒a+c≥b+da≤b,c≤d⇒a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式证明:𝑎>

𝑏⇒𝑎+𝑐>𝑏+𝑐𝑐>𝑑⇒𝑏+𝑐>𝑏+𝑑⇒a+c>b+d.新知探究-35-1.此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边

同时分别相减.3.该性质不能逆推,如a+c>b+da>b,c>d.归纳总结-36-(6)乘法单调性文字语言两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b>0,c>d>0⇒ac>bd作用两个不等式相乘的变形证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b

>0,∴bc>bd.∴ac>bd.新知探究-37-1.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同

向.2.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd;a<b<0,c<d<0⇒ac>bd.3.该性质不能逆推,如ac>bda>b,c>d.归纳总结-38-(7)正值不等式可乘方文字语言当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式同向.符号语言a>b>0⇒an>

bn(n∈N,且n≥1)作用不等式两边的乘方变形性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可得an>bn.新知探究1.给出下列结论：①若ac>bc，则a>b；②若a<b，则ac2<bc2；③若1a<1b<0，则a>

b；④若a>b，c>d，则a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，则ac>bd.其中正确结论的序号是______.③小试牛刀解析①当c>0时，由ac>bc⇒a>b，当c<0时，由ac>bc⇒a<b，故①错．②当c≠0时，由a<b⇒ac2<bc2，当c＝0时，由a<b⇒/ac2<bc2，故②错

．③∵1a<1b<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴1a·ab<1b·ab，即b<a，∴a>b，故③正确．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d错误．

⑤a>b>0c>d>0⇒ac>bd，0>a>b0>c>d⇒ac<bd，但a>b>00>c>d⇒/ac>bd，0>a>bc>d>0⇒/ac>bd.-41-反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用

不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.(2)特殊值法.取特殊值时,要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.反思总结例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea－c>eb－d.典

例解析用不等式的性质证明不等式又∵e<0，∴ea－c>eb－d.解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<1a－c<1b－d，1．若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.解析：∵bc－ad≥0，∴ad

≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴1bd>0，∴ad＋bdbd≤bc＋bdbd，∴a＋bb≤c＋dd.跟踪训练利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要

在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．归纳总结利用不等式的性质求取值范围例2已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β

2的范围．[分析]由－π2≤α<β≤π2可知，－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，α<β.典例解析解析∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4.两式相加，得－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4，∴－π2≤α－β2<π2.又∵α<β，∴α－β2

<0.∴－π2≤α－β2<0.『规律总结』求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．1.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)

ab.[解析](1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴14<1b<13，又

1<a<2，∴14<ab<23.跟踪训练1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是()A．a－c<b－dB．ac>bdC.ad<bcD．ad>bc解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确．答案：B当堂达

标2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b≥b－cB．ac≥bcC.c2a－b>0D．(a－b)c2≥0当堂达标解析：∵a>b，∴a－b>0.选项A中，当c＝0时，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，则选项A不成立

；选项B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，则选项B不成立；选项C中，由于c∈R，则c2≥0，∴c2a－b≥0，则选项C不成立；选项D中，a－b>0，c2≥0，∴(a－b)c2≥0，则选项D成立．答案：D3．设2<a<3，

-2<b<-1，则2a-b的范围是________．解析：4<2a<6，-2<b<-1，∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a-b<8答案：5<2a-b<84.已知a>b>0，c<d<0.求证：3ad<3bc.解析∵

c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－1c<－1d.又∵a>b>0，∴－ad>－bc>0.∴3－ad>3－bc，即－3ad>－3bc.两边同乘以－1，得3ad<3bc.不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔____⇔2传递性a>b，b>c⇒_____⇒3可加性a>b⇔a＋cb＋c可

逆4可乘性a>bc>0⇒acbcc的符号a>bc<0⇒acbcb<aa>c>><课堂小结性质别名性质内容注意5同向可加性a>bc>d⇒a＋cb＋d同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒acbd同向同正7可乘方性a>b>0⇒a

n>bn(n∈N*，n≥2)8可开方性a>b>0⇒na>nb(n∈N*，n≥2)>>