【文档说明】(2019)高中数学必修第二册第六章6.2.2《向量的减法运算》学案-人教A版.doc，共(10)页，479.000 KB，由小喜鸽上传

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6.2.2向量的减法运算知识点一相反向量知识点二向量的减法1．向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起

点与它们的起点重合的那条对角线(AC→)，而差向量是另一条对角线(DB→)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图①，作OA→＝a，OB→＝

b，则a－b＝OA→－OB→＝BA→.(2)当a，b共线且同向时，若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，于是|a－b|＝|b|－|

a|.(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)．可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向

量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|

D．方向相反(2)OB→－OA→＋BA→＝________.(3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB→－AD→|＝________.答案(1)A(2)0(3)2题型一向量的减法运算例1化简：(1)

(AB→－CD→)－(AC→－BD→)；(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)．[解](1)解法一(变为加法)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.解

法二(利用公式AB→－AC→＝CB→)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)－CD→＋BD→＝CB→－CD→＋BD→＝DB→＋BD→＝0.解法三(利用公式AB→＝OB→－OA→，其中O是平面内任一点)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)

－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋(OD→－OB→)＝OB→－OA→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)＝(AC→＋BA→)－(OC→－OB→)＝BC→－BC→＝0.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减

法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．化简下列各式：(1)AB→－AC→－DB→；(2)AB→＋BC→－AD→；(3)AB→－CD→－DB→.解(1)

AB→－AC→－DB→＝CB→＋BD→＝CD→.(2)AB→＋BC→－AD→＝AC→－AD→＝DC→.(3)AB→－CD→－DB→＝AB→＋DC→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＝AC→.题型二向量减法的几何意义例2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形

，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.[解]∵四边形ACDE为平行四边形，∴CD→＝AE→＝c.BC→＝AC→－AB→＝b－a.BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c

－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.[结论探究]若例2条件不变，试用a，b，c表示向量DA→.解解法一(应用三角形法则)：DA→＝EA→－ED→＝－AE→－AC→＝－c－b.解法二(应用平行四边形法则)：DA→＝－AD→＝－(AC→＋

AE→)＝－c－b.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．已知一点O到平行四边形AB

CD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD→等于()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c答案B解析如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有：OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋BC→＝OA→＋OC→－OB→＝a＋c－

b.题型三向量加法、减法的综合应用例3如图，O为△ABC的外心，H为垂心．求证：OH→＝OA→＋OB→＋OC→.[证明]作直径BD，连接DA，DC，有OB→＝－OD→，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA，AH∥DC.得四边形AH

CD是平行四边形，进而AH→＝DC→.又DC→＝OC→－OD→＝OC→＋OB→，得OH→＝OA→＋AH→＝OA→＋DC→＝OA→＋OB→＋OC→.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找

关系，化简得结果．如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：AD→＋BE→＋CF→＝0.证明连接EF，由题意知：AD→＝AC→＋CD→，BE→＝BC→＋CE→，CF→＝CB→＋BF→.由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知：EF→＝

CD→，BF→＝FA→.所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋BF→)＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→)＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋0＝AE→＋CD

→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝0.1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.AC→－AB→＝BC→B.AD→－BD→＝AB→C.BD→－AC→＝BC→D.BD→－CD→＝BC→答案C解析由向量减法法则知C错误．2．如图所示

，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF→－DB→等于()A.FD→B.FC→C.FE→D.DF→答案D解析由题图易知AF→＝DE→，∴AF→－DB→＝DE→－DB→＝BE→，又BE→＝DF→，∴AF→－DB→＝DF→.3．若O，E，F是不共线

的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→答案B解析由向量减法的三角形法则可知EF→＝OF→－OE→.故选B.4．若a，b

为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.答案02解析如果a，b为相反向量，那么a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∴|a－b|＝2|a|＝2.5．已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→

＝b，OC→＝c，用a，b，c表示OD→.解解法一：如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝a＋BC→＝a＋(OC→－OB→)＝a＋c－b.解法二：OD→＝OA→＋AB→＋BC→＋CD→＝OA→＋BC→＋(AB→＋CD→)＝OA→＋BC→＋0＝OA→＋(BO→＋OC→)＝

a＋(－b＋c)＝a－b＋c.