【文档说明】(2019)高中数学必修第二册8.5.3《平面与平面平行》学案-人教A版.doc，共(16)页，864.500 KB，由小喜鸽上传

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8．5.3平面与平面平行考点学习目标核心素养平面与平面平行的判定理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系直观想象、逻辑推理平面与平面平行的性质理解并能证明平面与平

面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P139－P142的内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？1．平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直

线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言■名师点拨(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判

定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言

■名师点拨(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行

，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内有无数条直

线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()答案：(1)×(2)√(3)×若一个

平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对答案：C下列命题正确的是()A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥βB．若直

线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面αC．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面αD．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行答案：D如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边

形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG.所

以四边形EFGH的形状是平行四边形．答案：平行四边形平面与平面平行的判定如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.【证明】(1)因为B1B═∥

DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，

GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩

DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.[变条件]把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝14A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?解：当F满足CF＝14CC1时，两平面平行，下面给出证明：在D1D上

取点M，且DM＝14DD1，连接AM，FM，则AE═∥D1M，从而四边形AMD1E是平行四边形．所以D1E∥AM.同理，FM═∥CD，又因为AB═∥CD，所以FM═∥AB，从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，D1E⊄平面FBD，

所以D1E∥平面FBD.又B1B═∥D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD，又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，从而B1D1∥平面FBD，又D1E∩B1D1＝D1，所以平面EB1D1∥平面FBD.证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只

需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．已知四棱锥PAB

CD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，而B

P⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥

平面PBC.面面平行性质定理的应用如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AE∥C

D，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，

AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且A

MMB＝CNND，其他不变．证明：MN∥平面α.证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是

CNND＝APPE.又因为AMMB＝CNND，所以AMMB＝APPE，所以MP∥BE.而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.2．[变条

件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：ABBC＝DEEF.证明：连接AF交平面β于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，所以ME∥AD.所以DEEF＝AMMF.同理，BM∥CF，所以ABBC

＝AMMF，即ABBC＝DEEF.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不

在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1

)得AC∥BD，所以PAAB＝PCCD，所以45＝3CD，所以CD＝154(cm)，所以PD＝PC＋CD＝274(cm)．平行关系的综合问题在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1

BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【解】(1)证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD═∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(

2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交

于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C

1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活

应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求

证：MN∥平面AA1B1B.证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，因为MP∥BB1，所以CMMB1＝CPPB.因为BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以CMMB1＝DNNB，所以CPPB＝DNNB，所以

NP∥CD∥AB.因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.又因为MP⊂平面MNP，NP

⊂平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与

平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2.如图所示，P是三角形ABC

所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25C．2∶5D．4∶5解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A

′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′AB2＝PA′PA2＝425.3．在棱长为2的正方体ABCD-A1

B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，所以平面MCD

1∩平面ABB1A1＝MN，且MN∥CD1，所以N为AB的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD1，因为正方体的棱长为2，易知，MN＝2，CD1＝22，MD1＝5，所以等腰梯形MNCD1的高MH＝（5）2－222＝322.所以截面面积为12(2＋22)×322＝92.答案：

924.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，因为AB∥平面α，AB⊂

平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可证EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．[A基础达标]1．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合解析：选C

.若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1

GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A.如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1.3.

有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过点P和棱BC将木块锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为()A．0B．1C．2D．无数解析：选B.过P、B、C三点有且只有1个平面．4．已知a，b，c为三条

不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①α∥cβ∥c⇒α∥β；②α∥γβ∥γ⇒α∥β；③α∥ca∥c⇒a∥α；④a∥γβ∥γ⇒a∥β.其中正确的命题是()A．①②③B．

①④C．②D．①③④解析：选C.①α与β有可能相交；②正确；③有可能a⊂α；④有可能a⊂β.故选C.5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，

D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为()A．16B．24或245C．14D．20解析：选B.由α∥β得AB∥CD.分两种情况：若点P在α，β的同侧，则PAPC＝PBPD，所以PB＝165，所以BD＝245；若点P在α，β之间，则有PAPC＝PB

PD，所以PB＝16，所以BD＝24.6．对于不重合直线a，b，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有________．(填写所有正确的序号)．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a∥α，a∥β；④a∥b，a⊥α，b⊥β.解析：对于

①，当γ⊥α，γ⊥β时，α与β相交，或α与β平行；对于②，当α∥γ，β∥γ时，根据平行平面的公理得α∥β；对于③，当a∥α，a∥β时，α与β相交，或α与β平行；对于④，当a∥b时，若a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，所以α∥β；综上，能

推出α∥β的是②④.答案：②④7．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；③若a∥α，a∥β，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β

＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：④8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C

1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝23BD1.则以下四个说法：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.其中说法正确的是____________．解析：①MN∥AC，连接AM，C

N，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的；②平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，是正确的；③由BP＝23BD1，以及②知△APB∽△D1PM，所以A，P，M三点

共线，是正确的；④直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC，是错误的．答案：②③9．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.证明：

因为D1Q綊12CD，AB綊12CD，所以D1Q綊AB，所以四边形D1QBA为平行四边形，所以D1A∥QB.因为D1A⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，所以D1A∥平面BPQ.因为Q，P分别为D1C1，C1C的中点，所以QP∥D1C.因为D1C⊄平面BPQ，QP⊂平面BPQ

，所以D1C∥平面BPQ，又D1A∩D1C＝D1，所以平面AD1C∥平面BPQ.10．(2019·湖南师大附中检测)如图(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图(乙)．求证：平面FH

G∥平面ABE.证明：因为F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，所以FH∥CD，HG∥AE.又AB⊥CD，AB⊥BE，所以CD∥BE，所以FH∥BE.因为BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，所以FH∥平面ABE.因为AE⊂平面ABE

，HG⊄平面ABE，所以HG∥平面ABE.又FH∩HG＝H，所以平面FHG∥平面ABE.[B能力提升]11．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A、B分别在两条直线上移

动时才共面C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A、B如何移动，都共面解析：选D.如图，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB的中点C变成A′B′的中点C′，连接

A′B，取A′B的中点E，连接CE、C′E、AA′、BB′.则CE∥AA′，所以CE∥α，C′E∥BB′，所以C′E∥β.又因为α∥β，所以C′E∥α.因为C′E∩CE＝E，所以平面CC′E∥平面α.所以CC′∥α.所以不论A、B如何

移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．12.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA

∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC

；直线EF与平面BDG不平行．答案：①②③13.用一个截面去截正三棱柱ABC-A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以为________(把你认为可能的结果的序号填在横线上)．①一般

的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．解析：由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EF∥HG且EH不平行于FG.答案：②⑤14．(2019·广饶期末)如图，已知

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN∥PE.证明：(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD.因为NQ⊄平面PAD，P

D⊂平面PAD，所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD.又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD

.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.(2)因为平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，所以MN∥PE.[C拓展探究]15.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：点E为AB的中点时DE∥平面AB1C1，证明如下：法一：取AB1的中点F，连接DE、EF、FC1，因为E、F分别为AB、AB1的中点，所以EF∥BB1且EF＝12BB1

.在三棱柱ABC-A1B1C1中，DC1∥BB1且DC1＝12BB1，所以EF═∥DC1，四边形EFC1D为平行四边形，所以ED∥FC1.又ED⊄平面AB1C1，FC1⊂平面AB1C1，所以ED∥平面AB1C1.法二：取BB1的中点H，连接EH，DH，ED，因为E

，H分别是AB，BB1的中点，则EH∥AB1.又EH⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EH∥平面AB1C1，又HD∥B1C1，同理可得HD∥平面AB1C1，又EH⊂平面EHD，HD⊂平面EH

D，EH∩HD＝H，所以平面EHD∥平面AB1C1，因为ED⊂平面EHD，所以ED与平面AB1C1无交点，所以ED∥平面AB1C1.