【文档说明】(2019)高中数学必修第二册7.3《复数的三角表示》学案-人教A版.doc，共(8)页，406.928 KB，由小喜鸽上传

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7.3复数的三角表示教学设计课题7.3复数的三角表示单元第七单元学科数学年级高一教材分析本节内容是复数的三角表示，是复数与三角函数的结合，是对复数的拓展延伸，这样更有利于我们对复数的研究。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用复数的三

角形式解决实际问题；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：掌握复数的三角形式；4.直观想象：利用复数三角形式解决一系列实际问题；5.数学运算:能够正确运用复数三角形式计算复数的乘法、除法；6.数据分析:通过经历提出

问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点复数的三角形式、复数三角形式乘法、除法法则及其几何意义难点复数的三角形式、复数三角形式乘法、除法法则及其几何意

义教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：问题一：你还记得复数的几何意义吗？问题二：我们知道，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？的方向。刻

画来）为终边的角所在射线（射线以向量轴的非负半轴为始边，以由左图可得，可以借助如何刻画呢？刻画，那么向量的方向向量的大小可以用模来OZOZOZx问题三：吗？来表示复数的模和角你能用向量zOZ

sincos.rbrarbiaOZ由左图可得：记向量得模rbrabarirrbiasin,cos,,sincos22其中所以问题四：成立吗？在虚轴上呢？在实轴上时，这个结论当Z学生通过回顾上节课所学的相关的知识点，引出本节新课内容。学生根据上一个

问题思考特设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。引导学生思考问题要全面，培养sincos00sin,1cos,00.0022irbiarraaaraiaaZZ则，可得：在实轴非负半轴上时，当点

sincos00sin,1cos,0.0022irbiarraaaraiaaZZ则，可得：在实轴负半轴上时，当点由此可得，在实轴上这个结论成立。同理可证得，在虚

轴上也成立。殊情况。学生全面思考的能力以及严谨的逻辑思维能力。讲授新课知识探究（一）：复数的三角表示式复数的三角表示式定义的辐角。叫做复数）为终边的角（射线所在射线向量轴的非负半轴为始边，是以是复数的模

，其中的形式都可以表示成一般地，任何一个复数biazOZOZxrirbiaz,sincos.sincos，简称代数形式叫做复数的代数表示式来，为了与三角形式区分开角形式。的三角表示式，简称三叫做复数

biabiazir的。的，所以辐角也是任意而零向量的方向是任意，，因为它对应着零向量对于复数的辐角是例如：复数个值，且这些值相差的复数的辐角有无限多显然，任何一个不为0.2220ZkkiZkk规定：2arg0,arg20zz即通常记作的

值为辐角的主值。范围内的辐角在显然，复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式。我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化。注：rbrabarirrbiasin,cos,,si

ncos122其中的辐角为任意角。复数辐角的主值通常记作辐角0.2,0arg,arg2zz小试牛刀计算下列复数的辐角(辐角的主值)（1）1（2）i（3）-1（4）-i01arg12arg2i1arg323arg4i例1画

出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式。i23211i12学生探究复数的三角形式定义。学生探究特殊复数的辐角的主值。探究得出复数的三角形式,培养学生探索的精神.引导学生深入探究，不断提高学生的思考能力。23sin,21cos,1

23212321122rbrari，则对应的向量如右图所示复数解：32321arg2321ii所以对应的点在第一象限，因为3sin3cos

2321sincosiiirrbia得由2221sin,2221cos,2111222rbrari，则对应的向量如右图所示复数47-1arg1ii所以对应

的点在第四象限，因为47sin247cos2-1sincosiiirrbia得由的三角形式。也是例如不一定取主值。角形式时，辐角，把一个复数表示成三由于辐角iiR

14sin4cos2方法总结将复数的代数形式转化为三角形式：就可以表示范围，但一般用辐角的主值此处出辐角以及向量所在位置计算根据，计算出并根据根据求出2,0sin,cos,,122Rrbrarbarba

式。求出复数对应的三角形根据sincos2irrbia小试牛刀把下列复数表示成三角形式i11i31-22221sin,2221cos,2111122rbrari求得根据复

数解：41arg1ii所以对应的点在第一象限，因为4sin24cos21sincosiiirrbia得由23sin,21-cos,231-31-222rbrari求得根据复数3231-arg31-

ii所以对应的点在第二象限，因为32sin232cos231-sincosiiirrbia得由例2分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式。sincos1i611sin611cos62i

一个辐角的可得，复数根据解：,1sincossincos1riirrbia101sincossincos.0sin,1cosiiirrbia得由。对应的向量如右图所示则611,6611sin611cos6

sincos2一个辐角的可得，复数根据riirrbiaiiiirrbia333216236611sin611cos6sincos.21611sin,23611cos得由。对

应的向量如右图所示则方法总结将复数的三角形式转化为代数形式：;sincos1和求出根据rirr式。求出复数对应的代数形根据biairrsincos2小试牛刀把下列复数表示成代数形式。2sin2cos21i

65sin-65cos22i2,22sin2cos2sincos1一个辐角的可得，复数根据解：riirrbia20122sin2cos2sincos.02sin,12cosiiirrbia得由

则65,265sin-65cos2sincos2一个辐角的可得，复数根据riirrbiaiiiirrbia3-21223-265sin-65cos2sincos.2165sin

,23-65cos得由。对应的向量如右图所示则思考：两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？每一个不等于0的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非0复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。知识探究（二）：复数乘、除运算的三角表示及其几何

意义思考一：式吗？并将结果表示成三角形你能计算，，分别写成三角形式如果把复数21222221111121sincossincos,zzirrzirrzzz学生探究并总结复数三角形式和代数形式的互化。引导学生不仅要学

习知识点，同时学习总结的能力。21212121212121212222111121sincossincoscossinsinsin-coscossincossincos

irrirrirrirrzz公式，可得及两角和的正弦、余弦根据复数的乘法法则以2121212222111121sincossincossincosirrirrirrzz即这就是说，两个复数相

乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。思考二：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？何意义。，这就是复数乘法的几就是积表示的复数，倍，得到向量再把它的模变为原来的，按顺时针方向旋转绕点就要把如果旋转角按逆时针方向绕点然后把向量对应的向量，

，分别画出与相乘时，可像右图那样两个复数21221221212121,0,,,zzOZOZrOOZOOZOZOZzzzz思考三：的几何意义吗？和你能解释11-1-i22.01111,10sin0cos111,011.11-

,1sincos11,2122的向量，辐角为的积，表示一个长度为是由此可见，因此的向量，辐角为表示一个长度为的向量，辐角为的积，表示一个长度为是由此可见，因此的向量，辐角为表示一个长度为iiiiii几何

解释。化为代数形式，并作出，请把结果求、已知例2121,31sin31cos2,61sin61cos233zziziziiiirizz32sin2cos336sin36cos2233sin3cos26sin6cos2321

解：.i3232,3,,,2112121所对应的向量即为积，的向量，辐角为得到一个长度为倍，这样的再将其长度伸长为原来，逆时针方向旋转按绕点然后把向量对应的向量首先作与zzOZOZOOZOZOZ

zz式表示）对应的复数（用代数形，求向量得到旋转按逆时针方向绕点把对应的复数为、如右图所示，向量例OZOZOOZiOZ,120,14学生根据环环相扣的思考题，探究复数的乘法、除三角形式的运算法则及其几何意义。通过思考，引导学

生学习数形结合法，并培养学生探索新知的精神和能力。iiiiiOZ21323123211120sin120cos1对应的复数为解：向量方法总结计算复数的积.21计算出积乘法法则根据复数的代数形式的代数形式；将复数的三角形式化为方

法一.21再化为复数的代数形式。等于各复数的辐角的和模的积，积的辐角即积的模等于各复数的法法则计算；根据复数三角形式的乘方法二小试牛刀计算：4sin4cossincos21ii61s

in61cos65sin65cos22iiiiiii2222220124sin4cossincos21解：24143221232123261sin61cos65sin65

cos222iiiii思考四：复数的除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？2122221

111sincossincoszzirzirz且，设111212121222sincos-ini-cossincosirsrrir因为

212121222111-ini-cossincossincossrririr义有所以根据复数除法的定这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。思考

五：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得到复数除法的几何意义吗？学生通过练习题，巩固复数的三角形式的乘法和除法法则，并能够灵活运用.利用练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。何意义。，这就是复数除法的几表

示的复数就是，倍，得到向量的，再把它的模变为原来旋转角按顺时针方向绕点然后把向量对应的向量，，分别画出与相除时，可像右图那样两个复数212212121211,,,zzOZOZrOOZOZOZzzzz。并把结果化为代数形式、计算例,65sin65cos23

4sin34cos45iiiiiii2i0221sin21cos265-34sin65-34cos265sin65cos234sin34cos4

解：方法总结计算复数的商.21计算出商除法法则根据复数的代数形式的代数形式；将复数的三角形式化为方法一.21再化为复数的代数形式法法则计算；根据复数三角形式的

除方法二小试牛刀计算：4sin4cossincos21ii61sin61cos65sin65cos22iiiiiii22

22220124sin4cossincos21解：iiiii31232126165sin6165cos261sin61cos65sin65cos22

课堂小结1、复数的三角形式与代数形式互化；2、复数三角形式的乘法、除法法则及其几何意义；学生回顾本节课知识点，

教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书教学反思