【文档说明】(2019)高中数学必修第二册7.2《复数的四则运算》学案-人教A版.doc，共(8)页，469.000 KB，由小喜鸽上传

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7.2复数的四则运算教学设计课题7.2复数的四则运算单元第七单元学科数学年级高一教材分析本节内容是建立在复数的概念的基础上展开的，学习复数的四则运算，掌握复数的四则运算，以便解决更多的实际问题。教学目标与核心素养1.数学抽象：利用坐标系和平面向量将复数具体刻画出来，便于更好的理解复数的四

则运算；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.数学建模：通过复数的四则运算解决更多在实数范围内无法解决的问题；4.直观想象：利用数形结合法探究复数的四则运算；5.数学运算:能够正确理解复数的四则运算及其运算律；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论

—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点数系扩充、复数概念及复数的几何意义难点复数概念及复数的几何意义教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课旧知导入：思考1：你还记得复数的概念是什么吗？

的数叫做复数。我们把形如Rbabia,1,2ii且叫做虚数单位其中叫做复数集。全体复数构成的集合RbabiaC,biaz复数是实数。时当zb,0是虚数。时当zb,0是纯虚数。时，特别地，且za0思考2：复数怎样表示？Rbabiazz,表示，即复数通

常用字母的实部与虚部。分别叫做复数与。其中的都有复数zbaRbabiaz,思考3：复数的几何意义是什么？复数第一种几何意义：biaz复数baZ,复平面内的点复数的第二种几何意义：biaz复数OZ平面向量学生思考问题，引出本节新课内容。设置问题，回顾旧知，激发学生学习兴

趣，并引出本节新课。一一对应讲授新课知识探究（一）：复数的加、减运算复数的加法运算我们规定，复数的加法法则如下：它们的和是是任意两个复数，那么设Rdcbadiczbiaz,,,,21dicbiazz21

idbca。仍然是一个确定的复数很明显，两个复数的和。和就是这两个实数的和把它们看作是复数时的都是实数时，特别地，当21,zz思考1：复数的加法满足交换律、结合律吗？它们的和是是任意两个复数，那么设Rdcba

diczbiaz,,,,21dicbiazz21idbcabiadiczz12ibdacidbca律。这就是复数加法的交换由此，我们可以得到,1221z

zzz复数加法的交换律1221zzzz复数加法的结合律321321zzzzzz思考2：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？对应，及复数分别与复数及设dicbiaOZOZ21

dcOZbaOZ,,,21则21OZOZOZ又因为dcbadcbaOZ,,,则复数又因为复数的和仍然是idcbadcbaOZ,则复数加法的几何意义：对应的向量。就是复数向量id

cbaOZ思考3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减规定复数的加法和减法运算法则，再由学生探究加法和减法的运算律。学生根据环环相扣的思考题，探究得出复数加法和减法的

几何意理解掌握加法和减法的运算法则，并探究得出加法和减法的运算律,培养学生探索的精神.通过思考，培养学生探索新知的精神和能力.法？复数的减法运算是加法的逆运算。我们规定，复数的减法.,,dicbi

aRdcdicRyxyixbiayixdic的差，记作复数减去的复数即把满足得：根据复数相等的含义可bydaxc,dbycax,因此idbcayix所以idbcadicbia

即这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项相减。思考4：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？对应，及复数分别与复数及设dicbiaOZOZ21dcOZbaOZ,,,21则21OZOZ

OZ又因为dcbadcbaOZ,,,则复数又因为复数的差仍然是idcbadcbaOZ,则复数减法的几何意义：对应的向量。就是复数向量idcbaOZ)43(2651ii

i、计算例解：)43(265iiii)416(325i11之间的距离。的两点几何意义，求复平面内、根据复数及其运算的例222111,,,2yxZyxZiyxziyxzyx

ZyxZ222111222111,),(),,(对应的复数解：因为复平面内的点之间的距离为所以点),(),,(222111yxZyxZiyxiyxzzZZZZ1122122121义。学生

通过例题和练习题，巩固复数加法运算法则和运算律，并能够灵活运用.利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。iyyxx1212212212yyxx这就是

复平面内的两点的距离公式。显然，这个公式和平面直角坐标系中两点的距离公式是一样的。小试牛刀1、计算下列各式（1）(2+4i)+(3-4i)=(2+3)+(4-4)i=5（2）5-(3+2i)=(5-3)+(0-2)i=2-2i（

3）(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i（4）(2-i)-(2+3i)+4i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=02、已知四边形ABCD是复平面内

的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．解：设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则AD→对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i.由已知得AD→＝BC→，∴(x－

1)＋(y－3)i＝2＋2i，∴x－1＝2，y－3＝2，∴x＝3，y＝5，即点D对应的复数为3＋5i.3.已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵

|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1.②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝3.知识探究（二）：复数的乘、除运算复数的乘法运算我们规定，复数的乘法法则如下：它们

的积是是任意两个复数，那么设Rdcbadiczbiaz,,,,21221bdiadibciacdicbiazzibcadbdac。仍然是一个确定的复数很明显，两个复数的

积。积就是这两个实数的积把它们看作是复数时的都是实数时，特别地，当21,zz规定复数的乘法和除法运算法则，再由学生探究乘法的运算律。理解掌握乘法和除法的运算法则，并探究得出乘法的运算律,培养学生探索的精神.别合并即

可。，并且把实部与虚部分换成的结果中把相乘，只要在所得乘，类似于两个多项式可以看出，两个复数相1-2i思考1：复数的乘法满足交换律、结合律吗？乘法对加法满足分配律吗？可得：是任意两个复数，由此设Rdcb

adiczbiaz,,,,21ibcadbdaczz21ibcadbdaczz121221zzzz所以律。这就是复数乘法的交换复数乘法的交换律1221zzzz法满足分配律。满足结合律

，乘法对加同理可得：复数的乘法复数乘法的结合律321321zzzzzz复数乘法的分配律3121321zzzzzzz)2(43213iii、计算例解：)2(4321iii)2(211

iii1520212;323214iii、计算例解：ii323212232i1394212i221iiii2121思考2：是怎样的一个数？是共轭复数，则若2121,zzzzbiazR

babiaz则设,,biabiazz因此222ibabiabia22ba以上这个结论在做题时可以直接使用。思考3：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。试着来探求复数除法

的运算法则？复数的除法运算那么它们的商是是任意两个复数，且设0,,,,21dicRdcbadiczbiazdicbiazz212222dcadbcdcbdacdicdicdicbia

复数。所得的商是一个确定的除数不为除由此可见，两个复数相0学生通过例题和练习题，巩固复数乘法和除法运算法则和运算律，并能够灵活运用.利用例题和练习题，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。。从而使分母“实数化”式”（共轭复数），乘以分母的“实数化因结果。这里分子

分母都化简后就可得到上面的母的共轭复数再把分子与分母都乘分的形式，写成，通常先把在进行复数除法运算时,dicdicbiadicbiaii43215、计算例解：iiii43214321iiii43434321

22434683iiii52512510504,0,,,,02;0216222acbaRcbacbxaxx且其中方程：、在复数范围内解下列例解：222

122ii因为ixx2022的根为所以方程，得的二次项系数化为将方程1022cbxax02acxabx配方，得222442aacbabx即222242aacbabx.022a4-0222

aacb，知由可得类似,1iaacbabx2422iaacbx242ab-2所以原方程的根为知识扩展的求根公式为：一元二次方程在复数范围内，实系数002acbxaxaacbbx24012时，当aiacbbx24

022时，当【探究】i的指数变化规律你能发现规律吗？有怎样的规律？例题讲解例7、计算：(1)2＋2i1－i2＋21＋i2020；(2)1＋i＋i2＋i3＋„＋i2019.解：(1)2＋2i1－i2＋21＋i2020＝2＋2i－2i＋22i101

0＝i(1＋i)＋1i1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝i－2.(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，∴1＋i＋i2＋i3＋„＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5＋i6＋i7)＋(i8＋i

9＋i10＋i11)＋„＋(i2016＋i2017＋i2018＋i2019)＝1＋i＋i2＋i3＝0.解法二：1＋i＋i2＋„＋i2019＝1－i20201－i＝1－i505×41－i＝1－11－i＝0.提升训练1、已知

平行四边形OABC，顶点O,A,C分别表示0，3+2i,-2+4i,试求：所表示的复数；所表示的复数，BCOA1所表示的复数；对角线CA2的长度。所表示的复数及对角线OBOB3解：如图所示：AOOA-1因

为iAO23所表示的复数为所以AOBC因为iBC23所表示的复数为所以OCOACA-2因为iiiCA254223所表示的复数为所以OCOAABOAOB对角线3iii614223376122OB2、

（1）根据复数的几何意义,满足条件1|)1(|iz的复数z在复平面上对应的点的轨迹是以（1，1）为圆心，半径为1的圆.（2）满足条件2|)32(|iz的复数z在复平面上对学生和教师共同探究完成5个提升训练。通过提升训练，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神

。应的点的轨迹是以（2，3）为圆心，半径为2的圆.结论：满足条件)0(|)(|rrbiaz的复数z在复平面上对应的点的轨迹是以（a，b）为圆心，半径为r的圆.3、。计算已知2121,43,21iiii21

312解：)43(2121ii）（24386iiii510ii21312ii2131iiii21212131555ii14、求值：200632iiii10.

..212006200520042003200220018765432iiiiiiiiiiiiiiiii）（）（）（解：原式5、若i23是关于x的方程Rbabaxx,02的一个根，求a,b的值。解：i23

的根是方程02baxx023232biai021235iaba0212035aba136ba课堂小结1、复数的加减运算及其几何意义；2、复数的

乘除运算；学生回顾本节课知识点，教师补充。让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。板书教学反思