(2019)高中数学必修第二册7.3《复数的三角表示》PPT课件-人教A版

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以下为本文档部分文字说明:

人教必修二第七章7.3复数的三角表示旧知导入问题一:你还记得复数的几何意义吗?biaz复数baZ,复平面内的点一一对应biaz复数OZ平面向量一一对应问题二:我们知道,向量也可以由它的大小和方向唯一确定,那

么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢?如何表示?的方向。刻画来)为终边的角所在射线(射线以向量轴的非负半轴为始边,以由左图可得,可以借助如何刻画呢?刻画,那么向量的方向向量的大小可以用模来OZOZOZx旧知导入问题三:

sincos00sin,1cos,00.0022irbiarraaaraiaaZZ则,可得:在实轴非负半轴上时,当点吗?来表示复数的模和角你能用向量zOZ

sincos.rbrarbiaOZ由左图可得:记向量得模rbrabarirrbiasin,cos,,sincos22其中所以问题四:成立吗?在虚轴上呢?在实轴上时,这个结论当Zsincos00sin,1cos,0.0022irb

iarraaaraiaaZZ则,可得:在实轴负半轴上时,当点由此可得,在实轴上这个结论成立。同理可证得,在虚轴上也成立。下面我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量的角θ来表示复数z.知识探究(一):复

数的三角表示式的辐角。叫做复数)为终边的角(射线所在射线向量轴的非负半轴为始边,是以是复数的模,其中的形式都可以表示成一般地,任何一个复数biazOZOZxrirbiaz,sincos复数的三角表示式定义.sincos

,简称代数形式叫做复数的代数表示式来,为了与三角形式区分开角形式。的三角表示式,简称三叫做复数biabiazir的。的,所以辐角也是任意而零向量的方向是任意,,因为它对应着零向量对于复数的辐角是例如:复数个值,且这些值相差的复数的辐角有

无限多显然,任何一个不为0.2220ZkkiZkk规定2arg0,arg20zz即通常记作的值为辐角的主值。范围内的辐角在小试牛刀知识探究(一):复数的三角表示式计算下列复数的辐角(辐角的主值)(1)1(2)i(3)-1(4)-i01arg12arg2

i1arg323arg4irbrabarirrbiasin,cos,,sincos122其中注:的辐角为任意角。复数辐角的主值通常记作辐角0.2,0arg,arg2zz显然,复数的代数形式可以转

化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式。我们可以根据运算的需要,将复数的三角形式和代数形式迚行互化。知识探究(一):复数的三角表示式例1画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式。i23211i1223sin,21cos,123212321

122rbrari,则对应的向量如右图所示复数解:32321arg2321ii所以对应的点在第一象限,因为3sin3cos232

1sincosiiirrbia得由2221sin,2221cos,2111222rbrari,则对应的向量如右图所示复数47-1arg1ii所以对应的点在第四象限,

因为47sin247cos2-1sincosiiirrbia得由知识探究(一):复数的三角表示式将复数的代数形式转化为三角形式:方法总结的三角形式。也是例如不一定取主值。角形式时,辐角,把一个复数表示成三由于辐角iiR14sin

4cos2就可以表示范围,但一般用辐角的主值此处出辐角以及向量所在位置计算根据,计算出并根据根据求出2,0sin,cos,,122Rrbrarbarba式。求出复数对应的三角形根据sincos2irrbia小试牛刀把下列复数表示成三角

形式。i112221sin,2221cos,2111122rbrari求得根据复数解:41arg1ii所以对应的点在第一象限,因为4sin24cos21sincosiiirrbia得由i31-2

23sin,21-cos,231-31-222rbrari求得根据复数3231-arg31-ii所以对应的点在第二象限,因为32sin232cos231-sincosiiirrbia得由知识探究(一):复数的三角表示式例2分别

指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式。sincos1i611sin611cos62i一个辐角的可得,复数根据解

:,1sincossincos1riirrbia101sincossincos.0sin,1cosiiirrbia得由。对应的向量如右图所示则611,6611sin611cos6sincos2一个

辐角的可得,复数根据riirrbiaiiiirrbia333216236611sin611cos6sincos.21611sin,23611cos得由。对应

的向量如右图所示则知识探究(一):复数的三角表示式将复数的三角形式转化为代数形式:方法总结;sincos1和求出根据rirr式。求出复数对应的代数形根据biairrsincos2小试牛刀把下列复数表示成代数形式。65sin-65cos22i

65,265sin-65cos2sincos2一个辐角的可得,复数根据riirrbiaiiiirrbia3-21223-265sin-65cos2sincos.2165sin,2

3-65cos得由。对应的向量如右图所示则2sin2cos21i2,22sin2cos2sincos1一个辐角的可得,复数根据解:riirrbia20122sin2cos2sincos.02sin,12cos

iiirrbia得由则思考:两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等?知识探究(一):复数的三角表示式每一个丌等于0的复数有唯一的模不辐角的主值,并且由它的模不辐角的主值唯一确定。因此,两个非0复数相等当且仅当它们的模不辐角的主值分别相等。知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其

几何意义思考一:式吗?并将结果表示成三角形你能计算,,分别写成三角形式如果把复数21222221111121sincossincos,zzirrzirrzzz212121212

12121212222111121sincossincoscossinsinsin-coscossincossincosirrirrirrirrzz公式,可得及两角和的正弦

、余弦根据复数的乘法法则以2121212222111121sincossincossincosirrirrirrzz即这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和。知识探究(二):复数乘

、除运算的三角表示及其几何意义思考二:由复数乘法运算的三角表示,你能得到复数乘法的几何意义吗?何意义。,这就是复数乘法的几就是积表示的复数,倍,得到向量再把它的模变为原来的,按顺时针方向旋转绕点就要把如果旋转角

按逆时针方向绕点然后把向量对应的向量,,分别画出与相乘时,可像右图那样两个复数21221221212121,0,,,zzOZOZrOOZOOZOZOZzzzz的几何意义吗?和你能解释11-1-i22思考三:.0111

1,10sin0cos111,011.11-,1sincos11,2122的向量,辐角为的积,表示一个长度为是由此可见,因此的向量,辐角为表示一个长度为的向量,辐角为的积,表示一个长度为是由此可见,因此的向量,辐角为表示一个长度为iiiiii

知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其几何意义几何解释。化为代数形式,并作出,请把结果求、已知例2121,31sin31cos2,61sin61cos233zziziziiiiri

zz32sin2cos336sin36cos2233sin3cos26sin6cos2321解:.i3232,3,,,2112121所对应的向量即为积,的

向量,辐角为得到一个长度为倍,这样的再将其长度伸长为原来,逆时针方向旋转按绕点然后把向量对应的向量首先作与zzOZOZOOZOZOZzz知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其几何意义式表示)对应的复数(用

代数形,求向量得到旋转按逆时针方向绕点把对应的复数为、如右图所示,向量例OZOZOOZiOZ,120,14iiiiiOZ21323123211120sin120cos1对应的复数为解:向量计算复数的积:方法总结.21计算出积乘法法则

根据复数的代数形式的代数形式;将复数的三角形式化为方法一.21再化为复数的代数形式。等于各复数的辐角的和模的积,积的辐角即积的模等于各复数的法法则计算;根据复数三角形式的乘方法二小试牛刀计算:61sin61cos65sin65cos22ii

4sin4cossincos21iiiiiii2222220124sin4cossincos21解:2414

3221232123261sin61cos65sin65cos222iiiii知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其几何意义思考四:复数的除法运算是乘法运算

的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示,你能得出复数除法运算的三角表示吗?2122221111sincossincoszzirzirz且,设111212121222sincos-ini-cossinco

sirsrrir因为这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。212121222111-ini-

cossincossincossrririr义有所以根据复数除法的定知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其几何意义思考五:类比复数乘法的几何意义,由复数除法运算的三角表示,你能得到复数除法的几何意义吗?何意义。,这就是复数除法的几表示的复数就是,倍,得到向量的,

再把它的模变为原来旋转角按顺时针方向绕点然后把向量对应的向量,,分别画出与相除时,可像右图那样两个复数212212121211,,,zzOZOZrOOZOZOZzzzz知识探究(二):复数乘、除运算的三角表示及其几

何意义。并把结果化为代数形式、计算例,65sin65cos234sin34cos45iiiiiii2i0221sin21cos265-34sin65-34cos265sin65cos234sin34cos4

解:计算复数的商:方法总结.21计算出商除法法则根据复数的代数形式的代数形式;将复数的三角形式化为方法一.21再化为复数的代数形式法法则计算;根据复数三角形式的除方法二小试牛刀计算

:61sin61cos65sin65cos22ii4sin4cossincos21iiiiiii2222220124sin4coss

incos21解:iiiii31232126165sin6165cos261sin61cos65sin65cos22

课堂小结课本P89习题7.3第1、2、3、4题作业布置1、复数的三角形式不代数形式互化;2、复数三角形式的乘法、除法法则及其几何意义;1.复数的三角形式例1-5四、作业布置三、课堂小结二、探索新

知一、旧知导入7.3复数的三角形式板书设计2.复数的乘法、除法法则及其几何意义

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