【文档说明】高中数学必修第二册《7.2 复数的四则运算》导学案-统编人教A版.doc，共(5)页，182.500 KB，由小喜鸽上传

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7.2.2复数的乘、除运算知识点一复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝□01(ac－bd)＋(ad＋bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于

两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成□02－1，并且把实部和虚部分别合并即可．知识点二复数的乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(

z2z3)；分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.知识点三复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝□01ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．由此可见，两个复数相除(除数不为0)

，所得的商是一个确定的复数．虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方，i有如下性质：i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＝1.说明：(1)上述公式说明i的幂具有周期性

，且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集．(3)4k(k∈Z)是i的周期．(4)与i有关的几个结论：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若复数z1＝1＋2i，

z2＝3－i，则复数z1z2的虚部为5.()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭复数的积为实数．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)复数3i＋1＝_____

___.(2)复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．(3)复数2－1i的共轭复数是________．答案(1)32－32i(2)四(3)2－i题型一复数的乘、除运算例1(1)复数3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝()A．0B．2C．－2i

D．2i(2)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．[解析](1)解法一：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i－3－2i

2－3i2－3i2＋3i＝6＋13i－6－6＋13i＋64＋9＝26i13＝2i.解法二：3＋2i2－3i－3－2i2＋3i＝i2－3i2－3i－－i2＋3i2＋3i＝i＋i＝2i.(2)(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋

20i)i＝－20－2i，∴(z1－z2)i的实部为－20.[答案](1)D(2)－20(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是

纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)原式＝－2＋3i1＋2i＝－2＋3i1－2i1＋2i

1－2i＝－2＋6＋3＋4i12＋22＝45＋75i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.题型二在复数范围内解一元二次方程例2在复数范围内解下列

方程．(1)2x2＋6＝0；(2)x2＋x＋4＝0.[解](1)由2x2＋6＝0，得x2＝－3.因为(3i)2＝(－3i)2＝－3，所以方程2x2＋6＝0的根为x＝±3i.(2)配方，得x＋122＝－154，因为152i2＝－152i2＝－1

54，所以x＋12＝±152i，所以原方程的根为x＝－12±152i.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)在复数范围内定有两个根：(1)Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1,2＝－b2a±Δ2a.(2)Δ＝0，方程有两个相等的实数根x1,2＝－b2a.(

3)Δ<0，方程有一对共轭虚根x1,2＝－b2a±－Δ2ai.在复数范围内解方程2x2＋4x＋15＝0.解配方，得(x＋1)2＝－132，因为262i2＝－262i2＝－132，所以x＋1＝±262i，所以原方程的

根为x＝－1±262i.题型三复数in的周期性运算例3计算：(1)2＋2i1－i2＋21＋i2020；(2)1＋i＋i2＋i3＋„＋i2019.[解](1)2＋2i1－i2＋

21＋i2020＝2＋2i－2i＋22i1010＝i(1＋i)＋1i1010＝－1＋i＋(－i)1010＝－1＋i－1＝i－2.(2)解法一：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N*，∴1＋i＋i2＋i3＋„＋i2019＝1＋i＋i2＋i3＋(i4＋i5

＋i6＋i7)＋(i8＋i9＋i10＋i11)＋„＋(i2016＋i2017＋i2018＋i2019)＝1＋i＋i2＋i3＝0.解法二：1＋i＋i2＋„＋i2019＝1－i20201－i＝1－i505×41－i＝1－11－i＝0.in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则，容易得到i的n次

幂的计算法则，即n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中i0＝1，i－n＝1in(n∈N*)．另外，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.(1)当z＝－1－i2时，z100＋z50＋

1的值等于()A．1B．－1C．iD．－i(2)计算1＋i1－i6＋2＋3i3－2i的值为________．答案(1)D(2)－1＋i解析(1)∵z2＝－1－i22＝－2i2＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i

)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.(2)原式＝1＋i226＋2＋3i3＋2i3＋2＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.1．复数i(2－i)＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i答

案A解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.故选A.2．复数21－i等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案A解析21－i＝21＋i1－i1＋i＝21＋i2＝1＋i.故选A.3．(1＋i)2－2－i2＋i＝________.答案－35＋

145i解析(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－2－i25＝－35＋145i.4．方程7x2＋1＝0的根为________．答案x＝±77i解析7x2＋1＝0，整理得x2＝－17，因为77i2＝－77i2＝－

17，所以7x2＋1＝0的根为x＝±77i.5．把复数z的共轭复数记作z－，已知iz－＝4＋3i，求zz－.解由iz－＝4＋3i得z－＝4＋3ii＝3－4i，所以z＝3＋4i.所以zz－＝3＋4i3－4i＝3＋4i

23－4i3＋4i＝－7＋24i25.