【文档说明】高中数学必修第二册《7.1 复数的概念》导学案3-统编人教A版.doc，共(6)页，177.000 KB，由小喜鸽上传

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7.1.2复数的几何意义知识点一复平面的相关概念如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做□01复平面，x轴叫做□02实轴，y轴叫做□03虚轴．复数集C中的数与复平面内的点建立了一

一对应关系，即复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．知识点二复数的向量表示如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量OZ→是由□01点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向

量□02OZ→唯一确定．复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi一一对应平面向量OZ→.这是复数的另一种几何意义，并且规定相等的向量表示□03同一个复数．知识点三复

数的模的定义公式向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作□01|z|或□02|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数□03a，

它的模等于□04|a|(a的□05绝对值)．知识点四共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为□01共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□02共轭虚数．1．复数的向量表示(1)任

何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量OZ→对应，这些对应都是一一对应，即(2)这种对应关系架起了联系复数与解析几何的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加

了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时，可以在复平面内，用向量方法进行．2．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝z－⇔z∈R.利用这个性质

，可以证明一个复数是实数．(3)zz－＝|z|2＝|z－|2∈R.z与z－互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模

一定是正实数．()(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为________．(2)复数z＝1－

4i位于复平面上的第________象限．(3)复数3i的模是________．(4)复数5＋6i的共轭复数是________．答案(1)－3i(2)四(3)3(4)5－6i题型一复平面内复数与点的对应例1在复平面内，若复数z＝(m2－m

－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．[解]复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.

(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得m2－m－2<0，m2－3m＋2>0，∴－1<m<2，m>2或m<1，∴－1<m<1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在

着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．实数m取什么值时，复数z＝(m2

＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.(1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．解(1)由题意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．(2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，解得m

＝1或m＝－52，所以当m＝1或m＝－52时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上.题型二复平面内复数与向量的对应例2已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO→表示的复数；(2)CA→表示的复数；(3)点B对应的复数．[解]由题

意得O为原点，OA→＝(3,2)，OC→＝(－2,4)．(1)∵AO→＝－OA→＝－(3,2)＝(－3，－2)∴AO→表示的复数为－3－2i.(2)∵CA→＝OA→－OC→＝(3,2)－(－2,4)＝(5，－2)，∴CA→表示的复数为5

－2i.(3)∵OB→＝OA→＋OC→＝(3,2)＋(－2,4)＝(1,6)，∴OB→表示的复数为1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义，利用这个几何意义，复数问题可以转化为

平面向量来解决，平面向量问题也可以用复数方法来求解．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________；(2)在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1＋2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量OB→对应复数为___

_____．答案(1)－6－8i(2)－2＋i解析(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的

复数是－6－8i.(2)点A(－1,2)关于直线y＝－x对称的点为B(－2,1)，所以OB→＝－2＋i.题型三复数模的综合应用例3设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？[解]由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ→

的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，有|z|是表示复数z的点Z到坐标原点间

的距离．也就是向量OZ→的模，|z|＝|OZ→|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P，Q所对应的复数分别为z1，z2，则|PQ|＝|z2－z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题．设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z

的集合是什么图形？(1)1<|z|<2；(2)|z－i|<1.解(1)根据复数模的几何意义可知，复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，不包括环的边界．(2)根据模的几何意义，|z－i|＝1表示复数z对应的点到复数i对应的点(0,1)

的距离为1.∴满足|z－i|＝1的点Z的集合为以(0,1)为圆心，以1为半径的圆内的部分(不含圆的边界)．1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A

．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析∵0<a<1，∴a>0且a－1<0，故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D．2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a

－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2且a≠1C．a＝0D．a＝2或a＝0答案D解析由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数

单位)，则|z|＝________.答案5解析因为z＝1＋2i，所以|z|＝12＋22＝5.4．已知复数z＝3＋ai，且|z|<5，则实数a的取值范围是________．答案－4<a<4解析|z|＝32＋a2<5，解得－4<a<4.5．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈

R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．解因为复数z对应的点在第一象限，所以m2＋m－1>0，4m2－8m＋3>0，解得m<－1－52或m>32.所以实数m的取值范围为－∞，－1－52∪

32，＋∞.