【文档说明】高中数学必修第二册《6.2 平面向量的运算》导学案2-统编人教A版.docx，共(8)页，331.696 KB，由小喜鸽上传

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16.2.3向量的数乘运算1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；1.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；2.教学难点：理解

实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做，记作．2．规定：①|λa|＝，②当时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝．3．运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ

(μa)＝；(2)(λ＋μ)a＝；(3)λ(a＋b)＝．特别地，我们有(－λ)a＝＝，λ(a－b)＝．4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．5．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1

、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝。一、探索新知探究1：已知非零向量a，作出aaa和)()(aaa，它们的长度与方向分别是怎样的？21.定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它

的长度与方向规定如下：（1）||a；（2）当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向。说明：（1）当0时，0a。（2）aa)1(。2.向量数乘的运算律探究2：求作向量)2(3a和a6，a

aa32)32(和，baba22)(2和(a为非零向量)，并进行比较。向量数乘的运算律：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：（1）)(a；（2）a)(；（3）)(ba。特

别地，有)()()(aaa)(ba。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。注：向量的线性运算的结果仍为向量。对于任意向量a、b及任意实数、,恒有)(21ba。[来源:学科网ZXXK]

例1：计算(1)a4)3((2)ababa)(2)(33(3))23()32(cbacba注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。例2.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于

点M，且,aABbAD，用向量ba,表示.,,MDMCMBMA和探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？3.共线向量定理：向量)0(aa与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。思考：a为什

么要是非零向量？b可以是非零向量吗？牛刀小试：判断下列各小题的向量ba与是否共线。（1）;2,2ebea4（2）;22,2121eebeea（3）21212,eebeea。例3.如图，已知任意两个非零向量ba与，试作,baOAbaOB2，baOC3，你能判断

A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想。结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：BCAB且有公共点B,A、B、C三点.例4.已知ba与是两个不共线的向量，向量baatb2321,共线，求实数t的值。51

．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D．1x－ye(x，y∈R，且x≠y)2．下列计算正确的个数是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－

(2b＋a)＝0.A．0B．1C．2D．33.3a＋12b＋c－2a＋34b－c等于()A．a－14b＋2cB．5a－14b＋2cC．a＋54b＋2cD．5a＋54b4．O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－

2e1＝________．5．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC．这节课你的收获是什么？参考答案：探究1.aaaBCABOAOC，记作a3。即aOC3。a3的方向与a的方向相同，||3|3|aa。类似地

，aPN3，其方向与a的方向相反，||3|3-|aa。6探究2.例1.例2.探究3.当aa与时，0的方向相同；当aa与时，0的方向相反。思考：若0a，则0a。b可以是0。牛刀小试：（1）共线（2）共线（3）不共线。例3.7例4.达标检测1.【解析】向量的

数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．【答案】C2.【解析】因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．【答案】C3.【解析】

3a＋12b＋c－2a＋34b－c＝(3a－2a)＋12b－34b＋(c＋c)＝a－14b＋2c.故选A．【答案】A4.【解析】设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝BE→＋BF→＝BO→＝OD→.【答案】OD→

(或BO→)85.【证明】∵AD→＝AC→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴AD→与BC→共线．又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．