【文档说明】高中数学必修第二册《7.3 复数的三角表示》PPT课件2-统编人教A版.ppt，共(29)页，1.367 MB，由小喜鸽上传

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7.3*复数的三角表示第二章复数学习目标重点：复数的三角表示及乘、除运算.难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示乊间的关系.3.了解辐角、辐角的主值等概念.4.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.知识梳

理一、复数的三角表示式1.复数的三角形式r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角表示式，简称三角形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a

+bi的辐角.为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正.2.辐角与辐角主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是2+2kπ，其中

k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principalvalueofanargument）.通常记作argz，即0≤argz<2π.3.

复数代数形式和三角形式的转化a+bi＝rcosθ+irsinθ＝r（cosθ+isinθ），其中r＝22ab，cosθ＝ar,sinθ＝br.(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐

角主值.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等4.复数相等二.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1.复数三角形式的乘法法则公式r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r

2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.2.复数乘法的几何意义两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-1那样，先分别画出与z1，z2对应的向量1OZ，2OZ，然后把向量1OZ绕点O按逆时针方向旋

转角θ2（如果θ2<0，就要把1OZ绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.图7.3-13.复数三角形式的除

法法则公式111222(cossin)(cossin)riri＝12rr［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］即，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差

.一.复数的代数形式与三角形式的互化常考题型<1>将复数的代数形式化为三角形式例1.将以下复数表示为三角形式（取辐角主值）：（1）3-i；（2）1+i；（3）5.【解】（1）因为r＝22(3)(1)＝2，co

sθ＝32，sinθ＝-12，所以θ＝116π，于是3-i＝11112cossin66i.（2）因为r＝11＝2，cosθ＝22，复数1+i对应的点在第一象限，所以arg（1+i）＝4，所以1+i＝244cosisin.（3）因为r＝2250＝5，c

osθ＝1，sinθ＝0，所以θ＝0，于是5＝5（cos0+isin0）.训练题1.复数-3-3i的三角形式为.1.答案：442333cosisin解析：因为r＝22(3)(3)＝23，cosθ＝-12，sinθ＝-32，所以θ＝43π，于是-3-3i＝442

333cosisin.训练题2将复数z＝1+cos2x+isin2xx∈0,2化为三角形式，并求|z|及argz.2解：z＝1+cos2x+isin2x＝2cos2x+i

·2sinxcosx＝2cosx（cosx+isinx）.∵x∈0,2，∴|z|＝2cosx，argz＝x.【名师点拨】将复数z＝a+bi（a，b∈R）化为三角形式z＝r（cosθ+isinθ）时，要注意：（1）r＝22ab.（2）cosθ

＝ar，sinθ＝br，其中θ终边所在象限与点（a，b）所在象限相同.或tanθ＝ba（a≠0），θ终边所在象限与点（a，b）所在象限一致.当a＝0，b>0时，argz＝2.【特别提醒】（1）复数的三角形式z＝r（cosθ+isinθ）中，辐角θ可以取辐角主值，也可以取其他辐角.如1-i＝7

72cossin44i＝244cosisin.（2）复数的三角形式z＝r（cosθ+isinθ）中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈［0，2π）.<2>将复数的三角形式

化为代数形式例2.将复数223233cosisin化为代数形式为.【解析】3223cosπ+23isinπ＝32-12+32i＝-322+362i.【答案】-322+362i训练题3复数z＝433cosisin

对应的点在第象限.3.答案：一解析：z＝433cosisin＝13422i＝2+23i，它对应的点为（2，23），在第一象限.【方法点拨】将复数的三角形式r（cosθ+isinθ）化为

代数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.【注意】复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点（a，b）是一一对应的.二.利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算<1>复数的乘法运算例3.566cosisin·244cosisin

＝.【解析】566cosisin·244cosisin＝55101212cosisin＝62621044i＝56522+56522i.【答案】56522+5

6522i训练题413132222ii（1+i）＝.4.答案：1+i解析：方法一（化为三角形式）13132222ii（1+i）＝22442cossincossincossin333344iii

＝992cossin44i＝2×2222i＝1+i.方法二（利用共轭复数的性质）设ω＝-12+32i，则|ω|＝1.则13132222ii（1+i）＝

ω·（1+i）＝|ω|2（1+i）＝1+i.训练题5［拓展题］（1+3i）7＝.5.答案：64+643i解析：方法一（化为三角形式）（1+3i）7＝72cossin33i＝277733cosisin＝131282

2i＝64+643i.（方法二）设ω＝-12+32i，则＝-12-32i，ω3＝6＝1.∴（1+3i）7＝713222i＝-277＝-276·＝-1312822i＝64+643i.【技巧点拨】利用复数的

三角形式进行复数的乘法运算时，直接用乘法法则r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］进行计算.【说明】复数的乘法运算，若为代数形式，则可先化为三角形式再进行运算.【提示】进行复数的乘方运算时，可先

将复数化为三角形式，再利用复数的乘法法则运算.【常用技巧】设ω＝-12+32i，则①ω3n＝1，ω3n+1＝ω，ω3n+2＝ω2（n∈N+）；②ω2＝；③1+ω+ω2＝0.<2>复数的除法运算例4.444cosisin

＝.【解析】444cosisin＝4(00)44cosisincosisin＝444cosisin＝22422i＝22-22i.【

答案】22-22i训练题65(3)13ii＝.6.答案：16i解析：方法一（化为三角形式）5(3)13ii＝52cossin662cossin33ii＝553266233cosisi

ncosisin＝1622cosisin＝16i.方法二利用ω＝-12+32i的性质设ω＝-12+32i，则ω2＝-12-32i.∵3+i＝-13222ii＝-2iω，1+3i＝-13222i

＝-2ω2，∴5(3)13ii＝52(2)2i＝555222i＝24·i·ω3＝16i.【点拨】利用复数的三角形式进行复数的除法运算时，若复数为三角形式，则直接用除法法则进行计算；若为代数形式，则可先化为三角形式

再进行运算.一般地，1cosisin＝cos（-θ）+isin（-θ）＝cosθ-isinθ.三.复数乘除法的几何意义的应用例5.如图7-3-1所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为-1+2i，1+i，并且|

BA|∶|DA|＝1∶3，求点C和点D分别对应的复数.图7-3-1【解】要求出点C对应的复数，即求出向量OC对应的复数，结合图形并注意OC＝OB+BC，可以先求向量BC对应的复数.向量BC可以看作向量BA的长度扩大为原来的3倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量BA对应的复

数为（-1+2i）-（1+i）＝-2+i，故向量BC对应的复数为（-2+i）·3·［cos（-90°）+isin（-90°）］＝3+23i.于是点C对应的复数为（3+23i）+（1+i）＝（3+1）+（23+1）i.同理可得点D对应的复数是（3-1）+（23+2）i.【点评】本题的求解

方法不唯一，请同学们尝试其他方法.训练题6已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，把向量12PP绕P1点按顺时针方向旋转2后，得到向量1PP，求向量1PP和点P对应的复

数分别是什么.6解：由题意知向量12PP对应的复数是z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.再由复数乘法的几何意义得，向量1PP对应的复数是（-1+3i）·22cosisin＝3+i，最后由复数加法的几何意

义得，向量OP＝1OP+1PP，其对应的复数是（-2+i）+（3+i）＝1+2i，故点P对应的复数为1+2i.【特别提醒】利用复数乘除法的几何意义求解复平面内点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量OZ对应的复数，OZ常常转

化为OZ＝1OZ+1ZZ，而求解向量1ZZ所对应的复数时，要注意它与已知（或可求）向量对应的复数乊间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确地利用复数乘除法的几何意义求解.