【文档说明】高中数学必修第二册《7.2 复数的四则运算》PPT课件1-统编人教A版.ppt，共(33)页，2.316 MB，由小喜鸽上传

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7.2复数的四则运算第七章复数学习目标1.能进行复数代数形式的四则运算.2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义.难点：复数减法的运算法则.知识梳理1.复

数的加法法则设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的和（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i.（1）两个复数相加，类似于两个多项式相加.（2）复数的加法满足交换律、结合律.（3）复数的加法法则可推广

到多个复数相加的情形.2.复数加法的几何意义一.复数的加法设1OZ，2OZ分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量1OZ与2OZ的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1（向量1OZ与2OZ不共线时），这就是复数加法的几何

意义（就是向量加法的平行四边形法则）.图7.2-1二.复数的减法1.复数的减法法则（a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i.2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部部分分别相加（减）两个复数z1＝

a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的向量分别是1OZ，2OZ，那么这两个复数的差z1-z2对应的向量是1OZ-2OZ，即向量21ZZ.如果作OZ＝21ZZ，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所示），即复数（a-c）+

（b-d）i对应的向量.这是复数减法的几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.4.复数减法的几何意义三.复数的乘法1.复数的乘法法则设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）＝（

ac-bd）+（ad+bc）i.两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有（1）交换律：z1z2＝z2z1，

（2）结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3），（3）分配律：z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2，z1·z2分别是怎样的数？提示：设z1＝a+bi，则z2＝a-bi（a，b∈R），

从而z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R.z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi，z1·z2＝（a+bi）（a-bi）＝a2+b2∈R.即z·z＝|z|2＝|z|2＝|z2|这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个性质.二、复数的除法复数除法的法则（

a+bi）÷（c+di）＝22acbdcd+22bcadcdi（a，b，c，d∈R，且c+di≠0）.说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷（c+di）写成abicdi的形式，再把

分子与分母都乘分母的共轭复数c-di（使分母“实数化”），化简可得上面的结果.一.复数的加、减运算常考题型<1>复数的加法与减法运算例1（1）1132i+（2-i）-4332i＝.（2）已知复数z满足z+1-3i＝5-2i

，则z＝.【解析】（1）1132i+（2-i）-4332i＝14233+13122i＝1+i.（2）方法一：设z＝x+yi（x，y∈R），因为z+1-3i＝5-2i

，所以x+yi+（1-3i）＝5-2i，即x+1＝5且y-3＝-2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4+i.方法二：因为z+1-3i＝5-2i，所以z＝（5-2i）-（1-3i）＝4+i.【答案】（1）1+i（2）4+i训练题1［2019·天津重点中学高三联考］已知z1＝3+

i，z2＝1+5i，则复数z＝z2-z1对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯虚数，则z＝.2.答案：3i解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵x2+y2＝32，且z+3i＝x+yi+3i＝x

+（y+3）i是纯虚数，∴03.xy，∴z＝3i.1.答案：B解析：z＝z2-z1＝（1+5i）-（3+i）＝-2+4i.【技巧点拨】进行复数加、减运算时：（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.（2）把i看作一个字母，

类比多项式加、减运算中的合并同类项.（3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.【注意】（1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）.（2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi（a，b∈R）.<2>复数加、减法的几何意义例

2.如图7-2-1，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.图7-2-1（1）求AO表示的复数；（2）求CA表示的复数；（3）求B点对应的复数.【解题提示】（1）利用AO＝-OA求

解.（2）根据CA＝OA-OC求解.（3）根据OB＝OA+OC求解.【解】（1）∵AO＝-OA，∴AO表示的复数为-（3+2i），即-3-2i.（2）∵CA＝OA-OC，∴CA表示的复数为（3+2i）-（

-2+4i）＝5-2i.（3）∵OB＝OA+AB＝OA+OC，∴OB表示的复数为（3+2i）+（-2+4i）＝1+6i.即B点对应的复数为1+6i.训练题3如图7-2-2，已知复平面内的正方形ABCD

的三个顶点A，B，C分别对应复数zA＝1+2i，zB＝-2+i，zC＝-1-2i，则顶点D对应的复数为.图7-2-23.答案：2-i解析：（方法一）设D（x，y），则AD＝OD-OA＝（x，y）-（1，2）＝（x-1，y-2）.BC＝OC-OB＝（-1，-2）-（-2，1）

＝（1，-3）.∵AD＝BC，∴（x-1，y-2）＝（1，-3），∴2,1.xy∴点D对应的复数为2-i.（方法二）∵ABCD为正方形，A，C关于原点O对称，∴O为正方形ABCD的中心.设D（x，y），则2010xy

，，∴21xy，，∴点D对应的复数为2-i.训练题4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，O是原点，OA，OC，AB对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么BC对应的复数为.4.答案：4-4i解析：∵BC＝-（OA-OC+AB），

∴BC对应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1）+（1-2+5）i］＝-（-4+4i）＝4-4i.训练题5［2019·湖北孝感高二检测］已知z∈C，且|z+3-4i|＝1，求|z|的最大值与最小值.5解：

由于|z+3-4i|＝|z-（-3+4i）|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数-3+4i对应的点C乊间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为囿心，半径等于1的囿，如图D-7-2.而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝

5，所以点Z到原点O的最大距离为5+1＝6，最小距离为5-1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.图D-7-2【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题（1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几

何意义的依据.（2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.（3）注意向量AB对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.（4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、

减运算与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方法.（5）向量AB在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点A对应的复数.【名师点拨】（1）|z-z0|表示复数z，z0对应的点乊间的距离，在应用时

，要把绝对值号内变为两复数差的形式.（2）|z-z0|＝r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹为以z0对应的点为囿心，r为半径的囿.（3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式入手进行分析判断，然后运用数形结合的方法进行求解.二复数的乘、除运算<1>复数的乘法运算例3（1）［2019·北京

卷］已知复数z＝2+i，则z·z＝（）A.3B.5C.3D.5（2）若|z1|＝5，z2＝3+4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝.【解析】（1）方法一：∵z＝2+i，∴z＝2-i，∴z·z＝（2+i）（2-i）＝5.方法二：∵z＝2+i，∴|z|＝2221＝5，∴z·z

＝|z|2＝5.（2）设z1＝a+bi（a，b∈R），则|z1|＝22ab＝5，即a2+b2＝25，z1·z2＝（a+bi）·（3+4i）＝（3a-4b）+（3b+4a）i.∵z1·z2是纯虚数，∴22

340,340,25,abbaab解得4,3ab或4,3.ab∴z1＝4+3i或z1＝-4-3i.【答案】（1）D（2）4+3i或-4-3i训练题6［2019·湖北八校高三二联］已知a，b∈R，i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+

bi）2＝（）A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i6.答案：D解析：由题意知a-i＝2-bi，∴a＝2，b＝1，∴（a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i.训练题7［2019·江西赣州中学高三检测］复数z＝（3-2i）i的共轭复数z等于（）A.-2-3iB.-2

+3iC.2-3iD.2+3i7.答案：C解析：∵z＝（3-2i）i＝3i-2i2＝2+3i，∴z＝2-3i.【方法点拨】（1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的

代数形式.（2）复数模的一个常用性质：|z|2＝|z|2＝|z2|＝z·z.（3）常用运算技巧①（a+bi）2＝a2+2abi-b2（a，b∈R）；②（a+bi）（a-bi）＝a2+b2（a，b∈R），即z·z＝|z|2；③（1±i

）2＝±2i.<2>复数的除法运算例4.（1）32(1)(1)ii＝（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i（2）［2019·全国Ⅲ卷］若z（1+i）＝2i，则z＝（）A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i【解析】（1）方法一：32(1)(1)ii＝2(1)(1)2iii＝2(1)(12)2iiii＝222ii＝1ii＝-1-i.方法二：32(1)(1)ii＝211ii（1+i）＝i2（1+i）＝-（1+i）＝-

1-i.（2）方法一：∵z（1+i）＝2i，∴z＝21ii＝2(1)(1)(1)iiii＝2(1)2i＝1+i.方法二：∵（1+i）2＝2i，∴z＝21ii＝2(1)1ii＝1+i.方法三：∵

2i＝（1+i）2，∴由z（1+i）＝2i＝（1+i）2，消去1+i，得到z＝1+i.【答案】（1）D（2）D训练题8［2019·广西桂林高三一模］满足ziz＝i（i为虚数单位）的复数z＝（）A.12+12iB.12-12iC.-12+12iD.-12-12i8.答案：B解析：（方法一）

∵ziz＝i，∴z+i＝zi，∴i＝z（i-1），∴z＝1ii＝(1)(1)(1)iiii＝12i＝12-12i.（方法二）∵ziz＝i，（1-i）2＝-2i，∴z＝1ii＝22(1)ii

＝2(1)2(1)ii＝12（1-i）＝12-12i.训练题9［2019·辽宁营口开发区第一高中高二月考］设z1＝a+2i，z2＝3-4i，且12zz为纯虚数，则实数a的值为.9.答案：83解析：设12zz＝bi（b∈R且b≠0），则z1＝bi·z2，即a+2

i＝bi·（3-4i）＝4b+3bi，所以4,23,abb解得832.3ab，训练题10［2019·河南郑州一中高二月考］已知复数z1＝（-1+i）（1+bi），z2＝21aii，其中a，b∈R.若z

1与z2互为共轭复数，求a，b的值.10解：z1＝（-1+i）（1+bi）＝-1-bi+i-b＝（-b-1）+（1-b）i，z2＝21aii＝(2)(1)(1)(1)aiiii＝222aaii＝22a+22ai.由于z1和z2互为共轭复数，所

以21,22(1),2abab解得2,1.ab【思路点拨】进行两个复数的除法运算时：（1）将除式写为分式；（2）将分子、分母同乘分母的共轭复数；（3）将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.【常用运算技巧】

进行除法运算时，常用公式：（1）1i＝-i；（2）11ii＝i；（3）11ii＝-i.一般地，baiabi＝()iabiabi＝i（a+bi≠0）.