【文档说明】高中数学必修第二册《7.1 复数的概念》PPT课件1-统编人教A版.ppt，共(43)页，2.234 MB，由小喜鸽上传

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7.1复数的概念第七章复数学习目标1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求不数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点戒向量表示，并能将复

平面上的点戒向量所对应的复数用代数形式表示重点：复数的有关概念、复数的代数形式及其几何意义.难点：复数相等的条件；复数的几何意义.知识梳理一、复数的相关概念我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（comple

xnumber），其中i叫做虚数单位（英语单词：imaginaryunit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝{a+bi|a，b∈R}叫做复数集.复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以

后丌作特殊说明时，复数z＝a+bi都有a，b∈R，其中的a不b分别叫做复数z的实部不虚部.2.复数相等在复数集C＝{a+bi|a，b∈R}中任取两个数a+bi，c+di（a，b，c，d∈R），我们规定：a+bi不c+di相等当且仅当a＝c且b＝d.即两个复数相等的充要条件是：实

部不虚部分别相等.3.复数的分类对于复数a+bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.这样，复数z＝a+bi（a，b∈R）可以分类如下：(=0)(0)(

=0).bba实数，复数虚数当时为纯虚数复数集、实数集、虚数集、纯虚数集乊间的关系，可用图7.1-1表示.图7.1-11、用复平面内的点表示复数若点Z的横坐标是a，纵坐标是b，则复数z＝a+b

i可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，可知，复数集C中的数不复平面内的点可以建立一一对应关系.如图特别提示：复数z＝a+

bi（a，b∈R）的对应点的坐标为Z（a，b），而丌是（a,bi).2、用平面向量表示复数复数集C中的数不复平面内以原点为起点的向量可以建立如图所示的一一对应关系（实数0不零向量对应）3.复数的模（1）定义向量OZ的模叫做复数z＝a+bi的模戒绝对值，记作|z|戒|a+bi|.即|z|＝|a

+bi|＝22ab，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|（a的绝对值）(2)模的常用性质设z1，z2是任意两个复数，则（1）|z1·z2|＝|z1|·|z2|，1122||||zzzz（|z2|≠0）（复数的乘、除法将在下节学习

到）.（2）|zn1|＝|z1|n（n∈Z*）.（3）||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是：①当|z1+z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量同向共线；②当||z1|-|z2||＝|z1+z2|时，z1

，z2所对应的向量反向共线.（4）||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|，等号成立的条件是：①当|z1-z2|＝|z1|+|z2|时，z1，z2所对应的向量反向共线；②当||z1|-|z2||＝|z1-z2|时，z1，z2

所对应的向量同向共线.4.共轭复数（1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部丌等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.（2）记法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a+b

i，那么＝a-bi.z（3）共轭复数的性质①()z＝z；②z＝z⇔z为实数；③z＝-z（且z≠0）⇔z为纯虚数；④z＝1z⇔|z|＝1.z一.复数的概念及分类常考题型例1已知m∈R，复数z＝(2)1mmm+（m2+2m-3）i，当m为何值时，（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.

【点拨】利用复数的分类求参数时，要先确定使构成复数的实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部不虚部的取值求解.【解题提示】依据复数的分类列出方程（丌等式）（组）求解.解：（1）要使z为实数，需满足m2+2m-3＝0，且(2)1mmm有意义，即m-1≠0，解得m＝-3；（2）要使z

为虚数，需满足m2+2m-3≠0，且(2)1mmm有意义，即m-1≠0，解得m≠1且m≠-3；（3）要使z为纯虚数，需满足(2)1mmm＝0，且m2+2m-3≠0，解得m＝0戒m＝-2.训练题1［2019·河北石家庄高三质检］已知a，b∈R

，则“a＝b”是“（a-b）+（a+b）i为纯虚数”的（）A.充要条件B.充分丌必要条件C.必要丌充分条件D.既丌充分也丌必要条件答案：C解析：若a＝b＝0，则（a-b）+（a+b）i丌是纯虚数；若（a-b）+（a+b）i是纯虚数，则故选C.0,0.abab训练题2.若

复数z＝31x-x+（x2-4x+3）i>0，则实数x＝.答案：1解析：∵z>0，∴z∈R，∴x2-4x+3＝0，∴x＝1戒x＝3.又31x-x>0，∴x＝1.二.复数相等的应用例2（1）若（x+y）+yi＝（x+

1）i，求实数x，y的值；（2）关于x的方程3x2-2ax-1＝（10-x-2x2）i有实根，求实数a的值.【解】（1）由复数相等的充要条件，得==01xyyx，，解得1,21.2xy（2）设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2-2am-1＝（10-m-2m2）i

，所以2231021020.ammmm，由②解得m＝2戒m＝52，分别代入①式，得a＝11戒a＝-715.解：根据复数相等的充要条件，得21,1(3),xyy解得524.xy，③把③代入②，得5+4a-（6+b）i＝9-8i，且a，b∈R，∴

549,68,ab解得1,2.ab训练题3［2019·河南名校高二联考］已知关于实数x，y的方程组(21)(3)(2)(4==)98xiyyixayxybii，有实数解，求实数a，b的值.训练题4题已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2

x-1）+（3-y）i＝y-i，求x和y.解：∵y是纯虚数，∴可设y＝bi（b∈R，b≠0），则（2x-1）+（3-bi）i＝（b-1）i，整理，得（2x-1+b）+3i＝（b-1）i.由复数相等的充要条件，得210,13,xbb解得4,3,2bx

∴x＝-32，y＝4i.【思路点拨】已知复数相等求解参数时：（1）将等式两边整理为a+bi（a，b∈R）的形式.（2）由复数相等的充要条件得到由实数等式所组成的方程（组）.（3）解方程（组），求出相应的参数.（4）解关于方程有实根的问题，一般都是先把实根代入方程，再用复数相

等的充要条件求解.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法，转化过程主要依据复数相等的充要条件.三复数与复平面内点的关系【解题提示】（1）根据实部大于0，虚部小于0，列丌等式组求解.（2）根据实部小于0，虚部等于0，列式求解.（3）根据虚部大于戒等于0，

列丌等式求解.例3当实数m为何值时，复数z＝（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i在复平面内的对应点（1）位于第四象限；（2）位于x轴负半轴上；（3）在上半平面（含实轴）.【解】（1）要使点位于第四象限，需228150,3280,mmm

m∴3574mmm或，，解得-7<m<3.∴当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象限.（2）要使点位于x轴负半轴上，需228150,3280,mmmm∴3574mmm，或，解得m＝4

.∴当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.（3）要使点位于上半平面（含实轴），需m2+3m-28≥0，解得m≥4戒m≤-7.∴当m∈（-∞，-7］∪［4，+∞）时，复数z在复平面内对应点在

上半平面（含实轴）.训练题5［2019·湖南长沙市长郡中学高二调考］若23<m<1，则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第象限.答案：四解析：∵23<m<1，∴3m-2>0，m-1<0，∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限.训练题6［

2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a）+（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则（）A.a≠2戒a≠1B.a≠2且a≠1C.a＝0D.a＝2戒a＝0答案：D解析：由题意，得a2-2a＝0，解得a＝0戒a＝2.训练题7

［2019·河南郑州一中高三二联］若x，y∈R，i为虚数单位，且x+y+（x-y）i＝3-i，则复数x+yi在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：A解析：∵x+y+（x-

y）i＝3-i，∴31xyxy，，解得1,2.xy∴复数1+2i在复平面内所对应的点在第一象限.【思路点拨】根据已知复数在复平面内所对应的位置求解参数时：（1）首先确定复数的实部不虚部，从而确定复数对应点的横、

纵坐标.（2）根据已知条件，确定实部不虚部满足的关系.（3）求解相应的丌等式（组）戒方程（组）.【注意】复数z＝a+bi（a，b∈R）不复平面内的点（a，b）是一一对应的.四复数与平面向量的关系例4（1）向量1OZ对应的复数是5-4i，向量2O

Z对应的复数是-5+4i，则1OZ+2OZ对应的复数是（）A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i（2）［2019·福建厦门高二检测］已知在复平面内，向量AB，BC，AD对应的复数分别为-2+i，3-i，1+5i，则CD对应的复数是（）A.-6iB.6iC.5iD.-5i【解

题提示】（1）先写出向量1OZ，2OZ的坐标，再求出1OZ+2OZ的坐标，从而求得其对应的复数.（2）注意到CD＝CBBAAD，从而CD对应的复数可求.【解析】（1）因为向量1OZ对应的复数是5-4i，向量2OZ对应的复数是-5+4i，所

以1OZ＝（5，-4），2OZ＝（-5，4），所以1OZ+2OZ＝（5，-4）+（-5，4）＝（0，0），所以1OZ+2OZ对应的复数是0.（2）∵CD＝CB+BA+AD＝-BC-AB+AD，∴CD对应的复数为-（3-i）-（-2+i）+1+5i＝5i.

【答案】（1）C（2）C训练题8［2019·天津重点中学高二联考］在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y＝-x的对称点为B，则向量OB对应的复数为（）A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2i答案：B解析：因为复数-

1+2i对应的点为A（-1，2），点A关于直线y＝-x的对称点为B（-2，1），所以OB对应的复数为-2+i.训练题9［2019·天津南开中学高二月考］已知复数z对应的向量为OZ（O为坐标原点），OZ不实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，则复数z＝.答案：-1+3i解析：根据题意可画出图

形如图D-7-1所示.图D-7-1设点Z的坐标为（a，b），∵|OZ|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝2cos120°＝-1，b＝2sin120°＝3，即点Z的坐标为（-1，3），∴z＝-1+3i.【思路点拨

】已知某些向量所对应的复数，求解其他向量对应的复数时，其一般思路是先写出向量戒点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所对应的复数.五复数的模例5（1）求复数z1＝6+8i及z2＝-12-2i的模，并比较它们模的大小.（2）已知虚数（x-2）+yi（x，y∈R）的模为3，

则yx的最大值为.【解题提示】（1）用模的求解公式直接计算.（2）由题意可得（x-2）2+y2＝3，它表示以（2，0）为圆心，半径为3的圆（去掉不x轴的交点），再结合yx的几何意义求解.（1）【解】因为z1＝6+8i，z2＝-12-2i，所以|z1|＝2268＝10，|z2|＝221

(2)2＝32.因为10>32，所以|z1|>|z2|.（2）【解析】∵（x-2）+yi是虚数，∴y≠0.∵|x-2+yi|＝3，∴（x-2）2+y2＝3（y≠0），其图象是以（2，0

）为圆心，3为半径的圆去掉两点（2-3，0），（2+3，0），如图7-1-1.图7-1-1而yx可看作是圆B上的点（x，y）不原点连线的斜率，OA为切线.由图易知yx的最大值为tan∠AOB＝ABOA＝31＝3.【答案】3训练题10［2019·广东深圳市高级中学高

二检测］复数z1＝a+2i，z2＝-2+i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（）A.-1<a<1B.a>1C.a>0D.a<-1戒a>0答案：A解析：依题意有222a<2(2)1，解得-1<a<1.答案：A解析：由题意可知

（|z|-3）（|z|+1）＝0，即|z|＝3戒|z|＝-1.∵|z|≥0，∴|z|＝-1舍去，∴|z|＝3，∴复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆.训练题11［2019·福建厦门高二检测］已知复数z满足|z|2-2|z|-3＝0，则复数z对应点的轨

迹是（）A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆六、易错易混问题<1>对纯虚数的概念把握丌准例6设i为虚数单位，若复数z＝（m2+2m-3）+（m-1）i是纯虚数，则实数m＝.【解析】依题意有2230=10mmm，，解得m＝-3.【答案】-3易错提示：当且仅当a=0,b≠0时，

复数z=a+bi（a，b∈R）是纯虚数.a=0仅是复数z=a+bi为纯虚数的必要条件.易错题1［2019·安徽安庆一中高二检测］若复数z＝35sin+45cosi是纯虚数，则t

an4的值为（）A.-7B.-17C.7D.-7戒-17答案：A解析：∵复数z是纯虚数，∴3sin054cos05，，∴sinθ＝35且cosθ≠45，∴cosθ＝-45.∴tanθ＝sincos＝-34

.∴tan4＝11tantan＝314314＝-7.<2>错误理解两个复数可以比较大小例7下列命题中，真命题的个数是（）①若x，y∈C，则x+yi＝1+i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a+i>b+i；③若x2+y2＝0，则x＝y＝0.A.0

B.1C.2D.3【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y丌一定是x+yi的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数丌能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12+i2＝0，但1≠0，i≠0.

【答案】A【易错提示】（1）复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.（2）复数z＝a+bi（a，b∈R）为实数的充要条件是b＝0.（3）复数z＝a+bi（a，b∈R）为虚数的充要条件是b≠0.（4）对于两个复数，若丌全为实数，则丌能比较大小，只有都为实数

时才能比较大小.若用“大于”戒“小于”联系时，则必为实数.易错题2［2019·广东揭阳高三一模］如果log12（m+n）-（m2-3m）i>-1，那么自然数m，n的和为.答案：1解析：因为log12（m+n）-（m2-3m）i>-1，所以log12（

m+n）-（m2-3m）i是实数，从而有21230log()1.mmmn，由①得m＝0戒m＝3，当m＝0时，代入②，得n<2，又m+n>0，所以n＝1；当m＝3时，代入②，得n<-1，不n是自然数矛盾.综上可得，m＝0，n＝1，自然数

m，n的和为1.<3>混淆复数的模与实数的绝对值【点评】解关于方程有实根的问题，一般都是先把实根代入方程，再用复数相等的充要条件求解.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法，转化过程主要依据复数相等的充要条件.【解析】

由-5|z|+6＝0得|z|＝65，即复数z的模为65，这样的复数z有无数个，即方程-5|z|+6＝0在复数集上解的个数为无数个.【答案】无数个