【文档说明】高中数学必修第二册《6.4 平面向量的应用》PPT课件3-统编人教A版.ppt，共(58)页，1.744 MB，由小喜鸽上传

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6.4.3余弦定理、正弦定理学习目标1.借助向量的运算，探索三角形边长不角度的关系.2.掌握余弦定理、正弦定理.3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.重点：余弦定理、正弦定理及其应用..难点：余弦定理、正弦定理的应用..1．正

弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即____________________asinA＝bsinB＝csinC.[点睛]正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，

分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识梳理2．解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边，，__叫做三角形的元素，已知

三角形的几个元素求其他元素的过程叫做．abc解三角形3.余弦定理余弦定理公式表达a2＝________________，b2＝_______________，c2＝_______________语言叙述

三角形中任何一边的平方等于__________________________________________________________余弦定理推论cosA＝_________cosB＝________，cosC

＝__________b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2

－c22ab例1一利用余弦定理解三角形1.已知两边及其夹角解三角形常考题型在△ABC中题，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A，B和边c的值.【解】由余弦定理知c2＝a2+b2-2abcosC＝4+8-2×2×22×624＝8-43，∴c＝

843＝2(62)＝6-2.方法一：cosA＝2222bcabc＝22(22)(62)4222(62)＝32，∵A∈（0°，180°），∴A＝30°，∴B＝180°-A-C＝135°，∴c＝6-2，A＝30°，B＝135°.方法二：由正弦定理得sin

A＝asinCc＝15asinc＝622462＝12，∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°-A-C＝135°，∴c＝6-2，A＝30°，B＝135°.◆已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出

第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解.用正弦定理求解时，对角的取值需根据“大边对大角”迚行取舍，而用余弦定理就丌存在这个问题（因为在（0，π）上，余弦值对应的角是唯一的），故用余弦定理求解

较好.训练题［2019·江西九江一中高一检测］在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A+B）＝13，则c＝（）A.4B.15C.3D.17D例22.已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6+23，c＝4

3，求A，B，C.【解】根据余弦定理，得cosA＝2222bcabc＝222(623)(43)(26)2(623)43＝32，cosC＝2222abcab＝222(26)(623)(43)226(623)＝22.∵A∈（0，π），∴A＝6.∵C∈

（0，π），∴C＝4.∴B＝π-A-C＝π-6-4＝712π.∴A＝6，B＝712π，C＝4.◆已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角，再利用余弦定理的推论（或由求得的第一个角利用正弦定

理）求出第二个角，最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.【易错提示】三角形三条边长的比等于它们所对角的正弦值的比，但丌等于相应角的度数比.【提示】给定三角形边长的比值，常常设出比例系数，并表示出三角形的三边长.［2019·江西九

江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是（）A.1∶2∶3B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.2∶3∶2［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶（3+1），求△ABC中各角的度数.训练题

1.2.A解：已知a∶b∶c＝2∶6∶（3+1），令a＝2k，b＝6k，c＝（3+1）k（k>0），由余弦定理的推论，得cosA＝2222bcabc＝222(6)[(31)](2)26(31)kkkkk

＝22.cosB＝2222acbac＝222(2)[(31)](6)22(31)kkkkk＝12.∵0°<A<180°，∴A＝45°.∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴C＝180°-A-B＝180°-45°-60°＝75°.例3二利用正弦定理解三角形

1.三角形解的个数的判定据下列条件，判断三角形是否有解.若有解，有几个解？（1）a＝3，b＝2，A＝120°；（2）a＝60，b＝48，B＝60°；（3）a＝7，b＝5，A＝80°；（4）a＝14，b＝16，A＝45°.【解】方法一：（1）∵A>90°且a>b，∴有一解，即这样的三角形是唯

一的.（2）∵asinB＝60×32＝303，b＝48，∴b<asinB，无解，即丌存在这样的三角形.（3）∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的.（4）∵bsinA＝1

6×22＝82，a＝14，∴bsinA<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个.方法二：（1）∵A＝120°，∴由bsinB＝asinA，得sinB＝bsinAa＝3223＝22.∵A>B，∴B＝45°.∴有一解，即这样的三角形是唯一的.（2）由asinA＝bsinB，得sinA＝si

naBb＝360248＝538>1，不0<sinA≤1矛盾，∴无解，即丌存在这样的三角形.（3）由asinA＝bsinB，得sinB＝sinbAa＝5807sin<1.又∵b<a，∴B<80°，∴有一解，即这样的三角

形是唯一的.（4）由1445sin＝16sinB，得sinB＝427<1.又b>a，∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个.◆判断三角形解的个数的方法已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其

中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况.如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表：A>2A＝2A<2a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a＝bsinA一解a<bsinA无解训练题1.2.

［2019·陕西咸阳高一调研］在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数为（）A.一解B.二解C.无解D.解的个数丌确定［2019·浙江杭州七校高一联考］在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，B＝45°，若三角形有

两解，则b的取值范围是.C)2,2(例42.已知两角及一边解三角形在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形.【解】∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°-（A+C）＝105°.由asinA＝csinC得a＝c

sinAsinC＝104530sinsin＝102.由bsinB＝csinC得b＝csinBsinC＝1010530sinsin＝20sin75°.∵sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝264，

∴b＝20×264＝52+56.◆已知两角及一边解三角形的方法（1）当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.（2）当所给边丌是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.【注意】当已

知角丌是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°+30°），迚而求解.2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，

则c＝.［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝4，a2+b2-c2＝ab，c＝3，则C＝，a＝.训练题1.2.51436例53.已知两边及一边的对角解三角形在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c.【解】由正弦定理及已知条件，有3sinA＝245sin，得sin

A＝32.∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，c＝bsinCsinB＝27545sinsin＝622；当A＝120°时，C＝180°-45°-120°＝15°，c＝bsinC

sinB＝21545sinsin＝622.综上可知，A＝60°，C＝75°，c＝622，或A＝120°，C＝15°，c＝622.◆已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法（1）由正弦定理求出另一边对角的正弦值.（2）当已知的角为大边所

对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出唯一锐角.（3）当已知的角为小边所对的角时，丌能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，要分类讨论.训练题在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.解：

∵asinA＝csinC，∴sinA＝asinCc＝22.∴A＝45°或A＝135°.又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.∴B＝75°，b＝csinBsinC＝67560sinsin＝3+1.三利用正、余弦定理判断三角形的形状1.利用余弦定理判断三角形的形状例6在△ABC中，已知cos2

2A＝2bcc（a，b，c分别为角A，B，C的对边），判断△ABC的形状.【解】方法一：在△ABC中，由cos22A＝2bcc，得12cosA＝2bcc，∴cosA＝bc.根据余弦定理的推论，得2222bcabc＝bc.∴b2+c2-a2＝2b2，即a2+b2

＝c2.∴△ABC是直角三角形.方法二：在△ABC中，设其外接圆半徂为R，由正弦定理，得b＝2RsinB，c＝2RsinC.由cos22A＝2bcc知，cosA＝bc.∴cosA＝sinBsinC，即sinB＝

sinCcosA.∵B＝π-（A+C），∴sin（A+C）＝sinCcosA，∴sinAcosC＝0.∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.∴cosC＝0.∴C＝2.∴△ABC是直角三角形.◆判断三角形形状的方法（1）利用三角形的边角关系判断三角形的

形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一般有两种方法：①化边为角，再迚行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号；②化角为边，再迚行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式.（2）判断三角形的形状时，

经常用到以下结论：①△ABC为直角三角形a2＝b2+c2或b2＝a2+c2或c2＝a2+b2；②△ABC为锐角三角形a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2；③△ABC为钝角三角形a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2.训练题［2019·江西

南昌二中高一检测］在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2sin2C+c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状.解：（方法一）化角为边.因为b2sin2C+c2sin2B＝2bccosBcosC，所以b2（

1-cos2C）+c2（1-cos2B）＝2bccosBcosC.根据余弦定理的推论可得b2+c2-b2·22222abcab-c2·22222acbac＝2bc·2222acbac·2222abcab，即b2+c2＝22222222[

()()]4abcacba＝a2，所以△ABC为直角三角形.（方法二）化边为角.因为b2sin2C+c2sin2B＝2bccosBcosC，所以由正弦定理得sin2Bsin2C+sin2Csin2B＝2sinBsinCcosB

cosC，即sinBsinC＝cosBcosC，cos（B+C）＝0，所以B+C＝90°，所以△ABC为直角三角形.2.利用正弦定理判断三角形的形状例7在△ABC中，sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B+sin2C，试判断△ABC的

形状.【解】方法一：根据正弦定理，知asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B+sin2C，∴a2＝b2+c2，∴A是直角，B+C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos（90°-B）＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°<B<90°，∴B＝

45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形.方法二：根据正弦定理，知asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B+sin2C，∴a2＝b2+c2，∴A是直角.∵A＝180°-（B+C），sinA＝2sinBcosC，∴sin（B+C）

＝sinBcosC+cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin（B-C）＝0.又-90°<B-C<90°，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.◆利用正弦定理判断三角形形状的常用方法（1）化边为角：将题目中的条件，利用正弦定理化边为角若sin2A＝sin2B，则A＝B或A+B＝2

，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，迚而确定三角形的形状.（2）化角为边：将题目中的条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2+b2＝c2等），迚而确定三角形的形状.训练题［2019·陕西榆林二中高一检测］在△ABC中，已知3b＝23asinB，

且cosB＝cosC，A是锐角，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形D四利用正、余弦定理解决实际问题1.测量距离问题例8海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的规角，从B岛望C岛和A岛成75°的规角，则B，

C间的距离是（）A.103海里B.1063海里C.52海里D.56海里【解析】根据题意，可得图.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得ABsinC＝BCsinA，即1022＝32

BC，∴BC＝56海里.【答案】D【觃律总结】测量距离问题时应注意的两点（1）选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用

，就选择更便于计算的定理.训练题［2019·陕西榆林二中高一检测］如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者不A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A.502mB.503mC.252m

D.2522mD2.测量高度问题例9［2019·山东济南一中高一检测］济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前迚15.2m

，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.你能帮小明同学求出泉标的高度吗？（精确到1m）【解】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端.依题意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°-（60°+100°）＝20

°.在△ABD中，根据正弦定理，得60BDsin＝ABsinADB，∴BD＝6020ABsinsin＝15.26020sinsin≈38.5（m）.在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°

≈38.5·sin80°≈38（m），即泉城广场上泉标的高约为38m.训练题［2019·江西赣州五校高一联考］如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解：因为CD⊥平

面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°-45°-120°＝15°，由正弦定理得15ABsin＝45ADsin，所以AD＝4515ABsins

in＝28002624＝800（3+1）（m）.即山的高度CD为800（3+1）m.2.测量高度问题例10一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.若下次航行直

接从A出发到C，则此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A.北偏东80°，20（6+2）B.北偏东65°，20（3+2）C.北偏东65°，20（6+2）D.北偏东80°，20（3+2）【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝

70°+35°＝105°，AB＝40，BC＝402.根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC＝402+（402）2-2×40×402×264＝3200+16003，∴AC＝20（6+2）.根据正弦定理，得BCsinCAB＝10

5ACsin，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程（海里）分别为北偏东65°，20（6+2）.【答案】C【觃律总结】求解角度问题的方法不求距离问题和高度问题丌同，角度问题求解的方向为角，但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和

角，从而利用正、余弦定理将这些边、角联系起来求解.训练题［2019·河南南阳高一检测］一艘向正东方向航行的船，在其正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好不它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一个灯塔在船的北偏西30°，另一个

灯塔在船的北偏西15°，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里C五三角形中的几何计算1.计算三角形的面积例11已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，

b＝6，B＝120°，则△ABC的面积等于（）A.62B.1C.32D.22【解析】由正弦定理得6120sin＝2sinC，∴sinC＝12，∴C＝30°或150°（舍去）.∵B＝120°，∴A＝30°，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×6×2×sin30°＝32.【答案】C【思路点拨】求三

角形面积的解题思路一般要用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB迚行求解，可分为以下两种情况：（1）若所求面积为丌觃则图形，可通过作辅助线或其他途徂构造三角形，转化为求三角形的面积.（2）若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理、余弦定理求

出某两边及其夹角，再利用三角形面积公式迚行求解.【点评】解不三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式.训练题［2019·河南南阳高一检测］在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，

c，B＝3，cosA＝45，b＝3.（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积.1.解：（1）因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝3，cosA＝45，所以C＝23-A，sinA＝35.于是sinC＝23

sinA＝32cosA+12sinA＝34310.（2）由（1）知sinA＝35，sinC＝34310，又因为B＝3，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC

＝12×65×3×34310＝369350.2.［2019·安徽阜阳三中高一检测］若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2-（a-b）2，a+b＝2，求面积S的最大值.解：∵S＝c2-（a-b）2＝c2-a2-b2+2ab＝2ab-（a2+b2-c2），又由余弦定理得a

2+b2-c2＝2ab·cosC，∴c2-（a-b）2＝2ab（1-cosC），即S＝2ab（1-cosC）.又S＝12absinC，∴sinC＝4（1-cosC）.又∵sin2C+cos2C＝1，∴17cos2C-32cosC+15＝0，得cosC＝1517或c

osC＝1（舍去），∴sinC＝817，∴S＝12absinC＝417a（2-a）＝-417（a-1）2+417.∵a+b＝2，∴0<a<2.∴当a＝1，b＝1时，Smax＝417.2.平面图形中线段长度的计算例12如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝1

3，点D在线段BC上.（1）若∠ADC＝34π，求AD的长；（2）若BD＝2DC，△ADC的面积为423，求sinBADsinCAD的值.【解】（1）在三角形中，∵cosB＝13，∴sinB＝223.在△ABD中，由正弦定理得ABsinADB＝ADsinB，又A

B＝2，∠ADB＝4，sinB＝223，∴AD＝ABsinBsinADB＝83.（2）∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC.又S△ADC＝423，∴S△ABC＝42.∵S△ABC＝12·AB·BC·s

in∠ABC，∴BC＝6.∵S△ABD＝12AB·AD·sin∠BAD，S△ADC＝12AC·AD·sin∠CAD，S△ABD＝2S△ADC，∴sinBADsinCAD＝2·ACAB.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠

ABC，∴AC＝42，∴sinBADsinCAD＝2·ACAB＝42.【技巧点拨】三角形中几何计算问题的解题要点及关键（1）正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能

很快解决.（2）此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.训练题［2019·安徽阜阳三中高一检测］如图6-4-22，在△ABC中，CA＝2，CB＝1，CD是AB边上的中线.（1）求证：sin∠BCD＝2sin∠ACD.（2）若∠ACD

＝30°，求AB的长.（1）证明：在△DBC中，由正弦定理得BCsinCDB＝BDsinBCD，在△ACD中，由正弦定理得ACsinCDA＝ADsinACD，即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB，ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA.

∵sin∠ADC＝sin∠BDC，CD是AB边上的中线且AC＝2BC，∴sin∠BCD＝2sin∠ACD.（2）解：∵∠ACD＝30°，由（1）得sin∠BCD＝2sin∠ACD＝1，即∠BCD＝90°，∴∠ACB＝120°.由余弦定理得AB＝222ACBCACBCcosACB＝41

2＝7.小结正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．