【文档说明】高中必修第二册数学《6.4 平面向量的应用》备课ppt课件2-统编人教A版.ppt，共(33)页，2.312 MB，由小喜鸽上传

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6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例学习目标1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.难点

：将实际问题转化为向量问题.1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为；(2)通过，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结

果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与位移s的数量积．向量向量问题向量运算知识梳理例1一向量在平面几何中的应用1.

平面几何中的垂直问题常考题型如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证：AD⊥BC.【证明】丌妨设AB＝c，AC＝b，AD＝m，则BD＝AD-AB＝m-c，CD＝AD-AC＝m

-b.因为AB2+CD2＝AC2+BD2，所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2，即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2，所以2m·（c-b）＝0，即2AD·（AB-AC）＝0，所以AD·CB＝0，所以AD⊥BC.◆用向量方法解决平面几何问

题的“三步曲”（1）建立平面几何不向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.◆用向量法解决平面几何问题的两

种方法（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法

.◆向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD.方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝（x1，y1），CD＝（x2，y2），再计算x1x2+x2y2的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD.训练题1.

如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.证明：（方法一）设正方形ABCD的边长为1，AE＝a（0<a<1），则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝2a，∴DP·EF＝（DA+AP）·（E

P+PF）＝DA·EP+DA·PF+AP·EP+AP·PF＝1×a×cos180°+1×（1-a）×cos90°+2a×a×cos45°+2a×（1-a）×cos45°＝-a+a2+a（1-a）＝0.∴DP⊥EF，即

DP⊥EF.（方法二）设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系.设P（x，x），则D（0，1），E（x，0），F（1，x），所以DP＝（x，x-1），EF＝（1-x，x）.∵DP·EF＝x（1-x）+x（x-1）＝0，∴DP⊥EF，即DP⊥EF.2.如图，O是△ABC的外心，E为△

ABC内一点，满足OE＝OA+OB+OC，求证：AE⊥BC.证明：因为BC＝OC-OB，AE＝OE-OA＝（OA+OB+OC）-OA＝OB+OC，所以AE·BC＝（OB+OC）·（OC-OB）＝|OC|2-|OB|2.因为

O为△ABC的外心，所以|OC|＝|OB|，所以AE·BC＝0，即AE⊥BC.例22.平面几何中的平行（或共线）问题平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12.求证：点E，O，F在同一直线上.

【证明】设AB＝m，AD＝n，由CEED＝AFFB＝12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴FO＝FA+AO＝13BA+12AC＝-13m+12（m+n）＝16m+12n，OE＝OC+CE＝12AC+

13CD＝12（m+n）-13m＝16m+12n.∴FO＝OE.又O为FO和OE的公共点，故点E，O，F在同一直线上.◆用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和C

D；③寻找实数λ，使AB＝¦ËCD，即AB∥CD；④给出几何结论AB∥CD.方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝（x1，y1），CD＝（x2，y2）.利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1＝0得到AB∥CD，再给出几何结论A

B∥CD.以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都丌共线的基础上，才能由AB∥CD得到AB∥CD.训练题［2019·河南南阳一中高一检测］如图所示，在平面直角坐标系中，|OA|＝2|AB|＝2，∠OAB＝23，BC＝（-1，3）.（1

）求点B，C的坐标；（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.（1）解：连接OB，设B（xB，yB），则xB＝|OA|+|AB|·cos（π-∠OAB）＝52，yB＝|AB|·sin（π-∠OAB）＝32，∴OC＝OB+BC＝53,22

+（-1，3）＝333,22，∴53,22B，333,22C.（2）证明：∵OC＝333,22，AB＝13,22，∴OC＝3AB，∴OC∥AB.又易知OA不BC丌平行，|OA|＝

|BC|＝2，∴四边形OABC为等腰梯形.例33.平面几何中的长度问题如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.【解】设AD＝a，AB＝b，则BD＝a-b，AC＝a+b.而|BD|

＝|a-b|＝222+aabb＝1+42ab＝52ab＝2，∴5-2a·b＝4，∴a·b＝12.又|AC|2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6，∴|AC|＝6，即AC＝6.◆利用向量法解决长度问题的方法（1）基向量法：利用图形特点选择基底，向

向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a＝（x，y），则|a|＝22xy.训练题如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝.212解析：以

A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，3），C（3，3），D（3，0），AC＝（3，3）.设AE＝AC，则E的坐标为（3λ，3λ），故BE＝（3λ，3λ-3）.因

为BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即9λ+3λ-3＝0，解得λ＝14，所以33,44E.故ED＝93,44，|ED|＝212，即ED＝212.例4二向量在物理中的应用1.力做功问题一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3

的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°；|F2|＝4N，方向为北偏东60°；|F3|＝6N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.【解】如图，以物体的重心O为原点，正东方

向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，3），F2＝（23，2），F3＝（-3，33），∴F＝F1+F2+F3＝（23-2，2+43）.又位移s＝（42，42），∴合力F所做的功W＝F·s＝（23-2）×42+（2+43）×42＝42×63＝246（J）.∴合力F所做的功

为246J.【提示】向量在物理中应用的几个方面（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.（3）动量mv是向量的数乘运算.（4）功是力F不位移s的数量积.◆利用向量法解决物理问题的步骤（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建

立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.训练题已知一物体在共点力F1＝（2，2），F2＝（3，1）的作用下产生位移s＝12，32，则共点力对物体所做的功为（）A.

4JB.3JC.7JD.2J已知力F（斜向上）不水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数为μ＝0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g＝10m/s2）1.2.C解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F

||s|cos30°＝50×20×32＝5003（J）.将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×12＝25（N），所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ（G-F1）|＝（80-25）×0.02＝1.1（N），因此Wf＝f·

s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×（-1）＝-22（J）.即F和f所做的功分别为5003J和-22J.例52.力、速度的合成在风速为75（6-2）km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.【解】设向量a表示风速，b表

示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a+b.如图，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，则四边形OACB为平行四边形.过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于点D，E.由已知，|OA|＝75

（6-2），|OC|＝150，∠COD＝45°.在Rt△COD中，OD＝OCcos45°＝752，CD＝752.又ED＝BC＝OA＝75（6-2），∴OE＝OD+ED＝756.又BE＝CD＝752，在Rt△OEB中，OB＝2

2OEBE＝1502，sin∠BOE＝BEOB＝12，∴|OB|＝1502，∠BOE＝30°.故没有风时飞机的航速为1502km/h，航向为北偏西60°.◆用向量的有关知识研究物理中有关力不速度等问题的基本思路和

方法（1）认真分析物理现象，把握物理量之间的相互关系；（2）通过抽象、概括，把物理现象转化为不之相关的向量问题；（3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；（4）利用这个结果，对物理现象作出解释.训练题如图，用两条同样长的绳子拉一物体保持平衡，物体的重力为G.两

绳受到的拉力分别为F1，F2，夹角为θ.（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|不|G|的关系式，并用数学观点分析F1的大小不夹角θ的关系；（2）求|F1|的最小值；（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求θ的取值范围.解：（1）由力的平衡得F1+F2+G＝0.设F1，F2的合力为F，则F＝-

G.由F1+F2＝F且|F1|＝|F2|，|F|＝|G|，解直角三角形得2cos＝11||2||FF＝1||2||GF，∴|F1|＝||22Gcos，θ∈［0°，180°）.∵函数y＝cos2在θ∈［0°，18

0°）上为减函数，且为正数，∴当θ逐渐增大时，2cos逐渐减小，即||22Gcos逐渐增大，∴当θ增大时，|F1|也增大.（2）由（1）可知，当θ＝0°时，|F1|有最小值2G.（3）由题意，得2G≤|F1|≤|G|，∴12≤122cos≤1，即12≤2cos≤1.∵y＝cos2在［

0°，180°）上为减函数，∴0°≤2≤60°，∴θ∈［0°，120°］.小结1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面．(1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明：AB→2＝CD→2.(2)要证

明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明：存在实数λ≠0，使AB→＝λCD→成立，且AB与CD无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则只要证明数量积AB→·CD→＝0.(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明

存在一实数λ≠0，使AB→＝λAC→.(5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量BA→与向量BC→的夹角即可．2．向量在物理中应用时要注意三个问题．(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现

象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识.