【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题1　集合与常用逻辑用语二 第2练 含答案.doc，共(11)页，94.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知

识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.体验高考1.(2015·山东)若m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根

，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”.∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.2.(2015·天津)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A.充分不必要条件B.必

要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件，故选A.3.(2015·重庆

)“x＞1”是“log21(x＋2)＜0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B解析log21(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，因此选B.4.(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋

b|＝|a－b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由|a＋b|＝|a－b|⇔(a＋b)2＝(a－b)2⇔a·b＝0⇔a⊥b，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.(2016·浙江)命题“∀x∈R，

∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案D

解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)

四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假.例1(1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线

，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y

2≥2xy.下列命题为假命题的是()A.p或qB.p且qC.qD.綈p答案(1)D(2)B解析(1)对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出

平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.(2)取x＝π3，y＝5π6，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0

恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题.点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识地去练习.变式训练1已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，则下列命题为真命题的是()A.p∧

qB.p∨(綈q)C.(綈p)∧qD.p∧(綈q)答案C解析因为∀x∈R，x2≥0，所以命题p是假命题，因为当α＝－β时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，所以命题q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)是假命题.题型二充分条件

与必要条件例2(1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析m⊂α，m∥β⇏α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.(2

)已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0(m＞－23)的解为条件q.①若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围；②若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围

.解①设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集m＋1＞2，－2m－1＜－1，m＞－23，解得m＞1.②若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集

m＋1≤2，－2m－1≥－1，m＞－23.解得－23＜m≤0.点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)举出反例

：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.(3)准确转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件.变式训练2(2

015·湖北)设a1，a2，„，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，„，an成等比数列；q：(a21＋a22＋„＋a2n－1)·(a22＋a23＋„＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋„＋an－1an)2，则()A.p是q的必要条件，但不是q的充分条件B.p是q的充

分条件，但不是q的必要条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案B解析若p成立，设a1，a2，„，an的公比为q，则(a21＋a22＋„＋a2n－1)(a22＋a23＋„＋a2n)＝a21(1＋q2＋„＋q2n－4)·a22(1＋q2＋„＋q2n－4)

＝a21a22(1＋q2＋„＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋„＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋„＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件.取a1＝a2＝„＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B

.题型三与命题有关的综合问题例3下列叙述正确的是()A.命题：∃x0∈R，使x30＋sinx0＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2<0B.命题：“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为：

若x≠1或x≠－1，则x2≠1C.已知n∈N，则幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1D.函数y＝log2x＋m3－x的图象关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m＝±1答案C解析A：命题：

∃x0∈R，使x30＋sinx0＋2<0的否定为：∀x∈R，均有x3＋sinx＋2≥0，故A错误；B：命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，故B错误；C：因为幂函数y＝x3n－7在x∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n－7<0，解得n<73，又n∈N，所以

n＝0，1或2；又y＝x3n－7为偶函数，所以，n＝1，即幂函数y＝x3n－7为偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n＝1，C正确；D：令y＝f(x)＝log2x＋m3－x，由其图象关于点(1，0)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，即log2x＋m3－x＋

log22－x＋m3－2－x＝log2x＋m2＋m－x3－x1＋x＝0，x＋m2＋m－x3－x1＋x＝1.整理得：m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3，当m＝－3时，x＋m3－x＝－1<

0，y＝log2x＋m3－x无意义，故m＝1.所以，函数y＝log2x＋m3－x图象关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m＝1，故D错误.点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础

知识，这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一.变式训练3下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay

＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是________.答案①③④解析对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇏30°＝150°，∴②错误

；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，∴③正确；④显然正确.高考题型精练1.已知复数z＝a＋3ii(a∈R，i为虚数单位)，则“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.

既不充分也不必要条件答案C解析z＝a＋3ii＝－(a＋3i)i＝3－ai，若z位于第四象限，则a＞0，反之也成立，所以“a＞0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.2.已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A

.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.3.(2015·湖北

)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案A解析两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定

不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.4.(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既

不充分也不必要条件答案C解析由题意得，a2n－1＋a2n＜0⇔a1(q2n－2＋q2n－1)＜0⇔q2(n－1)(q＋1)＜0⇔q∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件，故选C.5.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不

必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱

形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.6.已知命题p：∀x∈R，x3＜x4；命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝－2，则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)答案B解析若x3＜x4，则x＜0或x

＞1，∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝2sinx－π4＝－2，则x－π4＝3π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝7π4＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴(綈p)∧q为真命题.7.(2016·四

川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析画出可行域(如图所示

)，可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.8.下列5个命题中正确命题的个数是()①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是

减函数”是真命题；②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08；④若实数x，y∈[－1，1]，则满足x2＋y2≥1的概率为π4；⑤命题

“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.A.2B.3C.4D.5答案A解析①错，若log2a＞0＝log21，则a＞1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条

件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1，1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2＜1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为4－π4；⑤正确，不难看出，命题“若a∈M，

则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确.9.已知命题p：实数m满足m2＋12a2＜7am(a＞0)，命题q：实数m满足方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________.答案13

，38解析由a＞0，m2－7am＋12a2＜0，得3a＜m＜4a，即命题p：3a＜m＜4a，a＞0.由x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m＞m－1＞0，解得1＜m＜32，即命题q：1＜m＜32.因为p是q的充分不必要

条件，所以3a＞1，4a≤32或3a≥1，4a＜32，解得13≤a≤38，所以实数a的取值范围是13，38.10.已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(

0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围为________.答案12，＋∞解析由于f(x)是单调函数，在(0，1)上存在零点，应有f(0)·f(1)＜0，解不等式求出实数a的取值范围.由f(0)·f(1

)＜0⇒(1－2a)(4|a|－2a＋1)＜0⇔a≥0，2a＋12a－1＞0或a＜0，6a－12a－1＜0⇒a＞12.11.下列结论：①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝

2；命题q：∀x∈R，x2－x＋12＞0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4

”.其中正确结论的序号为__________.(把你认为正确结论的序号都填上)答案①③解析在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的.在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确.在③中，“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：“设a，b

∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”正确.12.已知条件p：4x－1≤－1，条件q：x2－x＜a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________.答案[0，1]解析由4x－1≤－1，得－3≤x＜1.由x2－x＜a2－a，

得(x－a)[x＋(a－1)]＜0，当a＞1－a，即a＞12时，不等式的解为1－a＜x＜a；当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解为∅；当a＜1－a，即a＜12时，不等式的解为a＜x＜1－a.由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的

充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集.当a＞12时，由{x|1－a＜x＜a}{x|－3≤x＜1}，得－3≤1－a，1≥a，解得12＜a≤1；当a＝12时，因为空集是

任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a＜12时，由{x|a＜x＜1－a}{x|－3≤x＜1}，得－3≤a，1≥1－a，解得0≤a＜12.综上，a的取值范围是[0，1].