【文档说明】高考数学（文）刷题小卷练：31 Word版含解析（含答案）.doc，共(10)页，117.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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刷题小卷练31双曲线的定义、标准方程及性质小题基础练○31一、选择题1．[2019·绵阳一诊]已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|＝8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一

支D．抛物线答案：C解析：设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|＝R－2，|MO2|＝R＋4，所以|MO2|－|MO1|＝6(常数)，且6<8＝|O1O2|，所以动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支．故选C.2．[2019·昆明模拟]“mn<0”是

“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C解析：先证充分性，由mn<0，知m，n异号，可得1m，1n异号，所以方程mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1

，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，则m≠0，n≠0，方程mx2＋ny2＝1可化为x21m＋y21n＝1，由双曲线方程的形式可知1m，1n异号，所以mn<0.综上，“mn<0”是“方

程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．故选C.3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8答案：B解析：由双

曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|

·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.4．[2019·广东广州模拟]已知双曲线C：x2a2－y24＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，F1

，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2，则|PF2|＝()A．4B．6C．8D．10答案：C解析：由题意得2a＝23，解得a＝3.因为|PF1|＝2，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF2|－

|PF1|＝2a，解得|PF2|＝8.故选C.5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为()A.x24－y216＝1B．x2－y24＝1C.x22－y23＝1D．x2－y26＝1答案：A解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>

0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为5，可得ca＝5，c＝25，所以b＝c2－a2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x24－y216＝1.故选A.6．[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1

(a＞0，b＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.322D．22答案：D解析：由题意，得e＝ca＝2，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D.7．[201

9·河南豫南豫北联考]已知直线y＝x＋1与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5答案：B解析：由题意得M(1,2)．设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y21－y22x21－x22＝b2a2＝kAB·kOM＝2.∴b2＝2a2，即c2－a2＝2a2，∴e＝3.故选B.8．[2019·福州四校联考]过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的

左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±3xD．y＝±2x答案：A解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的

边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以即ba＝4b2－c2c即：ba＝3b2－a2a2＋b2，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.二、非选择题9．[2019

·辽宁沈阳月考]已知方程mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：∵mx2＋(2－m)y2＝1表示双曲线，∴m(2－m)<0.解得m<0或m>2.10．[2019·广东揭阳普宁市华侨中学模拟]过双曲线x2－y22＝1的左焦点F

1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．答案：12解析：由题意，|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－

4＝4，∴|PF2|＋|QF2|＝8.∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.11．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．答案：x24－y2＝1解析：解

法一∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.解法二∵渐近线y＝12x过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－

12x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得ba＝12，16a2－3b2＝1，解得a2＝4，b2＝1，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1

.12．[2019·郑州一检]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，直线FM交另一条渐近线于N，若2MF→＝FN→，则双曲线的渐近线方程为________．答案

：y＝±33x解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，F(c,0)，则|MF|＝b，由2MF→＝FN→，可得|MF||FN|＝12，所以|FN|＝2b.在Rt△OMF中，由勾股定理，得|OM|＝|OF|2－|MF|2＝a，因为∠MOF＝∠FON，所

以由角平分线定理可得|OM||ON|＝|MF||FN|＝12，|ON|＝2a，在Rt△OMN中，由|OM|2＋|MN|2＝|ON|2，可得a2＋(3b)2＝(2a)2,9b2＝3a2，即b2a2＝13，所以ba＝33，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±33x.课时增分练○31一、选

择题1．[2019·合肥检测]下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±34x的是()A.x2144－y281＝1B.y218－x232＝1C.y29－x216＝1D.x24－y23＝1答案：D解析：对于A，渐近线方

程为y＝±912x＝±34x；对于B，渐近线方程为y＝±1832x＝±34x；对于C，渐近线方程为y＝±34x；对于D，渐近线方程为y＝±32x.故选D.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的

一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()A.x25－y220＝1B.x225－y220＝1C.x220－y25＝1D.x220－y225＝1答案：A解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝ca＝

5，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为x25－y220＝1.故选A.3．[2019·山东潍坊模拟]曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是()A．5B.5C.52

D.3答案：B解析：由y＝x2求导，得y′＝2x，∴k＝y′|x＝1＝2.∵函数y＝x2在点P(1,1)处的切线与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行，∴ba＝2，∴e＝ca＝1＋b2a2＝5，故选B.4．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相

垂直，则它的离心率为()A.2B.3C．2D.32答案：A解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以－ba2＝－1，可得a＝b，，双曲线为等轴双曲线，故e＝ca＝1＋ba2＝2.故选A.

5．[2018·全国卷Ⅱ]双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x答案：A解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程

为bx±ay＝0.又∵离心率ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2.∴b＝2a(a＞0，b＞0)．∴渐近线方程为2ax±ay＝0，即y＝±2x.故选A.6．[2019·河南郑州一中月考]已知点A是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)右支上一点

，F是右焦点．若△AOF(O是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e为()A.2B.3C．1＋2D．1＋3答案：D解析：依题意及三角函数定义得点Accosπ3，csinπ3，即A12c，32c.代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，得b

2c2－3a2c2＝4a2b2.又由c2＝a2＋b2，得e2＝4±23又e>1，解得e＝3＋1.故选D.7．[2019·黑龙江海林月考]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且AF→＝3BF→，则双曲

线离心率的最小值为()A.2B.3C．2D．22答案：C解析：因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且AF→＝3BF→，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)．因为AF→＝3BF→，所

以c－x1＝3(c－x2)，所以3x2－x1＝2c.因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，所以3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以ca≥2，即e≥2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.8.如图，F1，F2是双曲线x

2a2－y224＝1(a>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为()A．8B．82C．83D．16答案：C解析：由|AF1|－|AF2|＝|BF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，在△AF1F2中，|A

F1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2×6a×4a×12，化简得c＝7a，由a2＋b2＝c2得，a2＋24＝7a2，解得a＝2，则△BF1F2的面积为12|B

F1|·|BF2|sin∠F1BF2＝12×2a×4a×32＝83.故选C.二、非选择题9．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．答案：x2－y28＝1(x≤－1)

解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x

2－y28＝1(x≤－1)．10．[2019·海淀模拟]双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案：2

解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝22，所以a2＋b2＝c2＝(22)2，解得a＝2.11．

过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求||AB；(2)求△AOB的面积．解析：(1)由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F

1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝33x－3x23－y26＝1消去y得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－65，x1·x2＝－275.∴||AB＝1＋332[

x1＋x22－4x1x2]＝43－652－4－275＝1653(2)直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×

1653×32＝1253.