【文档说明】高考数学（文）刷题小卷练：30 Word版含解析（含答案）.doc，共(11)页，136.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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刷题小卷练30椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x24＋y2＝1的离心率为()A.12B.32C.52D．2答案：B解析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝3，所以椭圆的离心率e＝ca＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆m

x2＋ny2＝1的离心率为12，则mn＝()A.34B.43C.32或233D.34或43答案：D解析：若焦点在x轴上，则方程化为x21m＋y21n＝1，依题意得1m－1n1m＝14，所以mn＝34；若焦点在y轴上，则方程化为y21n＋x21m＝1，同理可得mn＝43.所

以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2B．4C．8D．22答案：B解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝

1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.故选B.4．[201

8·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－32B．2－3C.3－12D.3－1答案：D解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨

设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，得a＝1＋32，c＝1，所以离心率e＝ca＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已

知点P1，22是椭圆x2a2＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则△PAB的面积为()A．2B.24C.12D．1答案：D解析：由题可得1a2＋12＝1，∴a2＝2，解得a＝

2(负值舍去)，则S△PAB＝12×2a×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF1→·(OF1→＋OP→)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF2

→|，则椭圆的离心率为()A.6－3B.6－32C.6－5D.6－52答案：A解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF1→·(OF1→＋OP→)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2

是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则2x＋x＝2a，2x2＋x2＝2c2，∴a＝2＋12x，c＝32x，∴e＝ca＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中

心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案：C解析：由椭圆x24＋y23＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则OP→·FP→＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3

1－x24＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l：y＝kx与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1

(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.22，1B.0，22C.22，1D.0，22答案：C解析：由A

F与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>12a2，可得22<e<1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E：(x＋3)2＋y2＝16，点

F(3，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________．答案：x24＋y2＝1解析：连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝

4.又|EF|＝23<4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆即x24＋y2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案：5解析：

方程x2＋ky2＝2可化为x22＋y22k＝1，则322＋2k＝2⇒2k＝54，∴短轴长为2×52＝5.11．[2019·陕西检测]已知P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是其左

、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆x2a2＋y2b2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－2a23＝4c2，即a＝3c，所

以椭圆的离心率e＝ca＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C：x28＋y22＝1与圆M：x2＋y2＋22x＋2－r2＝0(0<r<2)，过椭圆C的上顶点P作圆M的两条切线分别与椭圆C相交

于A，B两点(不同于P点)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M(－2，0)，P(0，2)．设切线方程为y＝kx＋2.由点到直线的距离公式得，d＝|－2k＋2|1＋k2＝r，化简得(2

－r2)k2－4k＋(2－r2)＝0，则k1k2＝1.课时增分练○30一、选择题1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.2C．2D．22答案：D解析

：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1⇒bc＝1,2a＝2b2＋c2≥22bc＝22，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程

为()A.x25＋y210＝1B.x210＋y215＝1C.x215＋y210＝1D.x210＋y25＝1答案：C解析：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1，可得9a2＋4b2＝1，又

a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为x215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B.x2

16＋y26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1答案：A解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12，

又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋

y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案：D解析：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|

＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1，F2为

焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点．若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e为()A.53B.13C.23D.12答案：A解析：∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，PF1⊥P

F2，tan∠PF2F1＝2，∴|PF1||PF2|＝2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆定义知x＋2x＝2a，∴x＝2a3，∴|PF2|＝2a3，则|PF1|＝4a3.由勾股定理知|PF2|2＋|PF1|2＝|F1

F2|2，解得c＝53a，∴e＝ca＝53.故选A.6．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝1

6，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率为()A.32或52B.32或5C.32D.5答案：B解析：由题意得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.当m＝4时，曲线方程为

x2＋y24＝1，故其离心率e1＝ca＝1－b2a2＝1－14＝32；当m＝－4时，曲线方程为x2－y24＝1，故其离心率e2＝ca＝1＋b2a2＝1＋4＝5.所以曲线的离心率为32或5.故选B.8．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2

＝b2＋c2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为()A.55，35B.0，25C.25，35D.35，55答案：A解析

：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则a>b2＋c，b<b2＋c，整理得a－c2>14a2－c2，a2－c2<2c，解得55<e<35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A、B，当

△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．答案：3解析：如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE、BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE

|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆x24＋y23＝1得y＝±32，∴|

AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是12×3×|EF|＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足∠MAB＝30°，∠MBA＝45°.设椭圆C的离

心率为e，则e2＝________.答案：1－33解析：由椭圆的对称性，设M(x0，y0)，y0>0，A(－a,0)，B(a,0)．因为∠MAB＝30°，∠MBA＝45°，所以kBM＝y0x0－a＝－1，kAM＝y0x0＋a＝33.又因为x20a2＋y20b2＝1，三等式联立消去x0，y0可得b2

a2＝33＝1－e2，所以e2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为23，求直线l的方程．解析：(1)设椭圆E的方程为

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)由已知，直线l过左焦点F(－1,0)．当直线l与x轴垂直时，A－1，－22，B－1，2

2，此时|AB|＝2，则S△OAB＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y2)，B(x2，y2)．由y＝kx＋1，x22＋y2＝1得(1＋2k

2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.因为S△OAB＝12|OF|·|y1－y2|＝12|y1－y2|，由已知S△OAB＝23得|y1－y2|＝43.因为y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x

2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·－4k21＋2k2＋2k＝2k1＋2k2，y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－k21＋2k2，所以|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝4k21

＋2k22＋4k21＋2k2＝43，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.