【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册第3章习题课件：《3.1.1椭圆及其标准方程》(含答案).ppt，共(66)页，1.728 MB，由MTyang资料小铺上传

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第三章§3.1椭圆1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理知识梳理题型探究题型探究随堂演练随堂演练课时对点练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一椭圆的定义1.定义：平面内与两

个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹.2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常数)且2a|F1F2|.常数2a>知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_

_________________________________图形焦点坐标________________________________________a，b，c的关系__________x2a2＋y2b

2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)b2＝a2－c2思考能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？答案能.椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.

思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.()2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.()3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.()4.椭圆的两种标准

形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.()×××√2题型探究PARTTWO一、求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；解因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).又椭圆经过

点(0,2)和(1,0)，所以4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.所以所求的椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.解因为椭圆的焦点在y轴上，(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－32，52；所以设它

的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a＝10，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程

为y210＋x26＝1.(3)经过点P13，13，Q0，－12.解方法一①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).依题意，有132a2＋13

2b2＝1，0＋－122b2＝1，解得a2＝15，b2＝14.由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).依题意，有132a2＋13

2b2＝1，－122a2＋0＝1，解得a2＝14，b2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.方法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).则

19m＋19n＝1，14n＝1，解得m＝5，n＝4.所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.反思感悟确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中

心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，

－1，142；解方法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).由已知条件得4a2＋2b2＝1，1a2＋144b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.

若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).由已知条件得4b2＋2a2＝1，1b2＋144a2＝1，解得b2＝8，a2＝4.则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去.综上，所求椭圆的标准方程为x28＋y24

＝1.方法二(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).将两点(2，－2)，－1，142代入，得4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得A＝18，B＝14，所以所

求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点.解因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方

程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0).因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a2＋(3)2b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.二、椭圆的

定义及其应用例2已知P为椭圆x212＋y23＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.解由已知得a＝23，b＝3，所以c＝a2－b2＝12－3＝3，从而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|

F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝43，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.所

以＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3.12FPFS延伸探究若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.解由已知得a＝23，b＝3，所以c＝a2－b2＝12－3＝3.从而|F

1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×23＝43，所以|PF2|

＝43－|PF1|.从而有(43－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，解得|PF1|＝32.所以△PF1F2的面积S＝12·|PF1|·|F1F2|＝12×32×6＝332，即△PF1F2的面积是332.反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定

义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.跟踪训练2(1)已知F1，F2为椭圆x225＋y29＝1的两个

焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝______.解析由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4

a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.8(2)椭圆方程为x24＋y23＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点.若＝3，求∠F1PF2的大小.12FPFS解由已知得a＝2，b＝3，c＝1，设

|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，则m＋n＝4，①m2＋n2－2mncosα＝4，②12mnsinα＝3，③①2－②得mn(1＋cosα)＝6，④④③得1＋cosαsinα2＝63，即2cos2α2sinα2·

cosα2＝23，∴tanα2＝33，∴α2＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°.例3(1)已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为__________.三、与椭圆有关的轨迹问题解析

设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，x2＋y22＝1又x204＋y208＝1.所以(2x)24＋(2y)28＝1，即点Q的轨迹方程为x2＋y22＝1.(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋

y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.解设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动

圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为x216＋y27＝1.反思感悟求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转

换成x，y间的关系式；(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去.

跟踪训练3在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.32解以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线E是以A，B为焦点

，且过点C的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).因为|AB|＝2，|AC|＝32，所以|BC|＝|AC|2＋|AB|2＝52，则2a＝|AC|＋|BC|＝32＋52＝4,2c＝|AB|＝2，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.所以曲线E的方程为x24＋

y23＝1.3随堂演练PARTTHREE1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为A.5B.6C.7D.8√1122334455x225解析设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|P

F2|＝8.2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是A.1B.2C.3D.4解析椭圆方程可化为x2＋y24k＝1，√1122334455由题意知4k>1，4k－1＝1，解得k＝2

.3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0,2)C.(1，＋∞)D.(0,1)解析∵方程x2＋ky2＝2，即x22＋y22k＝1表示焦点在y轴上的椭圆，√1122334455∴2

k>2，故0<k<1.故选D.4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为，则此椭圆的标准方程为__________.215解析由已知2a＝8,2c＝215，所以a＝4，c＝15，1122334455y216＋x2＝1所以

b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.5.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________.x225＋y29＝1解析如图，当P在y轴上时△PF1F

2的面积最大，∴12×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.11223344551.知识清单：(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.2.方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法.3.常见误区：(1)忽视椭圆定义中a，c的条件.(2)混淆

不同坐标系下椭圆的两种标准方程.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标为基础巩固1122334455667788991010111112121313141415151616A.(5,0)，(－5,0)B.(0,5)，(

0，－5)C.(0,12)，(0，－12)D.(12,0)，(－12,0)√解析c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则

椭圆的方程为A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1√解析由题意可得a2－b2＝9，0＋9b2＝1，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆的方程为x218＋y29＝

1.11223344556677889910101111121213131414151516163.“2<m<6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√解析若方程x2m－2＋y2

6－m＝1表示椭圆，则m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，解得2<m<6且m≠4，所以“2<m<6”是方程“x2m－2＋y26－m＝1为椭圆”的必要不充分条件.112233445566778899101011111212131314141515161

64.设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于A.5B.4C.3D.1√解析由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF

1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×4×2＝4，故选B.11223344556677889910101111121213131414

151516165.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.线段D.直线√解析设椭圆的右焦点为F2，由题意，知|PO|＝

12|MF2|，|PF1|＝12|MF1|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆.1122334455667788991010111112121

3131414151516166.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________.解析设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，半

焦距为c，x24＋y23＝1由题意可得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.11223344556677889910101111

121213131414151516167.已知椭圆x225＋y29＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是_____.解析设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|M

E|＝10，又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，11223344556677889910101111121213131414151516164又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝12|ME|＝4.8.已知

F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为_____.1122334455667788991010111112121313141415

15161672解析如图，由x29＋y27＝1，知a2＝9，b2＝7，c2＝2.所以a＝3，b＝7，c＝2.所以|F1F2|＝22.设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°，所以(6－x)2＝x2＋8－42x·22

.所以x＝72.所以＝12×22×72×22＝72.12AFFS11223344556677889910101111121213131414151516169.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是

什么图形.根据题意，得(x－2)2＋y2|8－x|＝12.解设点M的坐标为(x，y)，d是点M到直线x＝8的距离，两边平方，并化简得3x2＋4y2＝48，即x216＋y212＝1.所以，点M的轨迹是椭圆.1122334455

66778899101011111212131314141515161610.已知椭圆M与椭圆N：x216＋y212＝1有相同的焦点，且椭圆M过点－1，255.(1)求椭圆M的标准方程；解由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M的方程为x2a2

＋y2b2＝1(a>b>0)，则a2－b2＝4，1a2＋45b2＝1，化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－165(舍)，a2＝5，故椭圆M的标准方程为x25＋y2＝1.11223344556677

88991010111112121313141415151616(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为12×4×|y0|＝1，得y0＝±

12.解由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，又x205＋y20＝1，所以x20＝154，x0＝±152，所以点P有4个，它们的坐标分别为152，12，－152，12，152，－12，－152，－12.112233445

566778899101011111212131314141515161611.P是椭圆x216＋y29＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为

A.60°B.30°C.120°D.150°1122334455667788991010111112121313141415151616综合运用√解析由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2

7，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，1122334455667788991010111112121313141415151616在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝40－282×1

2＝12，∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.12.椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为1122334455667788991

010111112121313141415151616A.±34B.±22C.±32D.±34√解析∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，∵

点P在椭圆上，∴3212＋y23＝1，即y2＝34，∴y＝±32.∴点M的纵坐标为±34.112233445566778899101011111212131314141515161613.已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点

，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为A.5B.7C.13D.15√1122334455667788991010111112121313141415151616解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，

且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.14.已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝_____.解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因

为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，112233445566778899101011111212131314141515161612故有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12

.15.如图所示，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2＝______.1122334455667788991010111112121313141

415151616拓广探究23解析设正三角形POF2的边长为c，则34c2＝3，解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，则|PF1|＝|F1F2|2－|PF2|2＝42－22

＝23，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝23＋2，即a＝3＋1，所以b2＝a2－c2＝(3＋1)2－4＝23.112233445566778899101011111212131314141515161616.如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作

斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1)，且满足BP∥x轴，AB→·AP→＝9，求椭圆C的方程.1122334455667788991010111112121313141415151616解由题意得A(0，－b)，直线AB的方程为y＝x－b，由P(0

,1)且BP∥x轴，得B(1＋b，1)，所以AB→＝(1＋b，1＋b)，AP→＝(0,1＋b)，因为AB→·AP→＝9，故0＋(1＋b)2＝9，因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1)，将B(3,1)代入椭圆x2a2＋y24＝1，得9a2＋14＝1，解得a2＝12，综上所述，椭圆C的方程为x21

2＋y24＝1.1122334455667788991010111112121313141415151616