【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册第1章习题课件：《1.1.1第2课时共线向量与共面向量》(含答案).ppt，共(57)页，1.559 MB，由MTyang资料小铺上传

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第一章1.1.1空间向量及其线性运算1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理知识梳理题型探究题型探究随堂演练随堂演练课时对点练课时对点练

1知识梳理PARTONE知识点一共线向量1.空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使.2.直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把称为直线l的方

向向量.a＝λb与向量a平行的非零向量思考1对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?答案不能.若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.思考2怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？答案只需证明向量AB→，BC→(不唯一)共线

即可.知识点二共面向量1.共面向量如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.OA→2.向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，

那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.p＝xa＋yb思考已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，则点P与点A，B，C是否共面？答案共面.由

OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，可得AP→＝xAB→＋yAC→，所以向量AP→与向量AB→，AC→共面，故点P与点A，B，C共面.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A，B，C，D必在同

一条直线上.()2.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.()3.空间中任意三个向量一定是共面向量.()4.若P，M，A，B共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→.()××××2题型探究PARTTWO例1如图所示，已知四边形ABCD是空

间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形.一、向量共线的判定及应用证明∵E，H分别是AB，AD的中点，∴AE→＝1

2AB→，AH→＝12AD→，则EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝1232CG→－32CF→＝34(CG→－CF→)＝34FG→，∴EH→∥FG→

且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.反思感悟向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ

，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使PA→＝λPB→；跟踪训练1(1)已知

A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若OC→＝mOA→＋nOB→，则m＋n＝_____.所以m＋n＝1.1解析由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得AC→＝λAB→，即OC→－OA→＝λ(OB→－OA→)，所

以OC→＝(1－λ)OA→＋λOB→，所以m＝1－λ，n＝λ，(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E—→＝2ED1—→，F在对角线A1C上，且A1F—→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线.证明设AB→＝a，AD→＝b，AA1—→＝c，因为A1E

—→＝2ED1—→，A1F—→＝23FC→，所以A1E—→＝23A1D1—→，A1F—→＝25A1C—→，所以A1E—→＝23AD→＝23b，A1F—→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1—→)＝25a＋25b－25c，所以EF→＝A1F—

→－A1E—→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.又EB→＝EA1—→＋A1A—→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，所以EF→＝25EB→，所以E，F，B三点共线.例2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足OM→＝13

OA→＋13OB→＋13OC→.(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；二、向量共面的判定解∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量

MA→，MB→，MC→共面.(2)判断M是否在平面ABC内.解由(1)知，向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.反思感悟解决向量共面的

策略(1)若已知点P在平面ABC内，则有AP→＝xAB→＋yAC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证

明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.跟踪训练2(1)如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝13BD，AN＝13A

E.求证：向量MN→，CD→，DE→共面.证明因为M在BD上，且BM＝13BD，所以MB→＝13DB→＝13DA→＋13AB→.同理AN→＝13AD→＋13DE→.所以MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝13DA→＋13AB→＋BA→＋13AD→＋13DE→＝2

3BA→＋13DE→＝23CD→＋13DE→.又CD→与DE→不共线，根据向量共面的充要条件可知MN→，CD→，DE→共面.(2)已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的

中点，求证：①E，F，G，H四点共面.因为EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)证明如图，连接EG，BG.＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由向量共面的充要条件知向量EG→，EF→，EH→共面，即E，F，G，H四点共面.②BD∥平面EFGH.证明因为EH

→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.核心素养之逻辑推理与数学运算HEXINSUYANGZHILUOJIT

UILIYUSHUXUEYUNSUAN空间共线向量定理的应用典例如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.证明∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→

＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→，又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－1

2FB→，∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)，∴CE→＝2MN→，∴CE→∥MN→.∵点C不在MN上，∴CE∥MN.素养提升证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题

.这里关键是利用向量的线性运算，从而确定中的λ的值.CE→＝λMN→3随堂演练PARTTHREE1.满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是A.AB→＋BC→＝AC→B.AB→－BC→＝AC→C.AB→＝BC→D.|AB→|＝|BC→|√11223

34455A.P∈直线ABB.P∉直线ABC.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.以上都不对2.若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则√解析因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)·OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→

－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线.又AP→，AB→有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.11223344553.下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是A.OM→＝2O

A→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0√1122334455解析C选项中，MA→＝－MB→－MC→，∴点M，A，B，C共面.4.已知点M在平面ABC内，并且对空

间任意一点O，有OM→＝xOA→＋13OB→＋13OC→，则x的值为A.1B.0C.3D.13且M，A，B，C四点共面，√解析∵OM→＝xOA→＋13OB→＋13OC→，∴x＋13＋13＝1，∴x＝13，故选D.11223344555.已知非零向量e1，

e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是_____.所以k＝λ，λk＝1.1122334455±1解析若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以k＝±1.1.知识清单：(1)空间向量共线的充要条件

，直线的方向向量.(2)空间向量共面的充要条件.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.已知向量a，b，且AB→＝a＋2b

，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D√基础巩固解析因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB→，故AD→∥AB→，又AD→与AB→有公共点A，所以A，B，D三点共线.11

223344556677889910101111121213131414151516162.对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量√1

122334455667788991010111112121313141415151616A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量3.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A—→，D1C—→，A1C1—→是√解析因为D

1C—→－D1A—→＝AC→，且AC→＝A1C1—→，所以D1C—→－D1A—→＝A1C1—→，即D1C—→＝D1A—→＋A1C1—→.又D1A—→与A1C1—→不共线，所以D1C—→，D1A—→，A1C1—→三个向量共面

.11223344556677889910101111121213131414151516164.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA→＝43PB→－xPC→＋16DB→，则实数x的值为A.13B.－13C.12D.－12又∵P是空间任意一点，

A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，√解析PA→＝43PB→－xPC→＋16DB→＝43PB→－xPC→＋16(PB→－PD→)＝32PB→－xPC→－16PD→.∴32－x－16＝1，解得x＝13.11223344556677889910101111

121213131414151516165.(多选)下列命题中错误的是A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0B.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件C.

若AB→，CD→共线，则AB∥CDD.对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面√√√1122334455667788991010111112121313141415

151616解析显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B错误；若AB→，CD→共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；11223344556677889910101111

12121313141415151616只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝_____.11

2233445566778899101011111212131314141515161623解析CD→＝CB→－DB→＝CB→－13AB→＝CB→－13(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→，又CD→＝13CA→＋λCB→，所以λ＝23.7.设e1，e2是空间两个

不共线的向量，已知AB→＝e1＋ke2，BC→＝5e1＋4e2，DC→＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.11223344556677889910101111121213131414151516

161即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，又∵e1，e2不共线，解析∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝7e1＋(k＋6)e2，1122334455667788991010111112121313141

415151616且AB→与AD→共线，故AD→＝xAB→，∴7－x＝0，k＋6－kx＝0，解得x＝7，k＝1，故k的值为1.8.已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xB

O→＋3yCO→＋4zDO→，则2x＋3y＋4z＝________.解析由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，1122334455667788991010111112121313141415151616－1使得OA→＝x1OB

→＋y1OC→＋z1OD→，且x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1.9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝12FC1，判断ME→与NF→是否共线.解由题意，得ME→＝MD1—→

＋D1A1—→＋A1E—→＝12BA→＋CB→＋13A1A—→＝BN→＋CB→＋13C1C—→＝CN→＋FC→＝FN→＝－NF→.即ME→＝－NF→，∴ME→与NF→共线.112233445566778899101011111212131314141515161610.在长方体ABCD－A

1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N—→与A1B—→，A1M—→共面.证明∵A1B—→＝AB→－AA1—→，A1M—→＝A1D1—→＋D1M—→＝AD→－12AA1—→，AN→＝23AC→＝23(AB→＋AD→)，∴A1N

—→＝AN→－AA1—→＝23(AB→＋AD→)－AA1—→＝23(AB→－AA1—→)＋23AD→－12AA1—→＝23A1B—→＋23A1M—→，∴A1N—→与A1B—→，A1M—→共面.11223344556677889910101111121213

1314141515161611.若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝αPB→＋βPC→，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件112233445566778899101011111212131314

1415151616综合运用√1122334455667788991010111112121313141415151616解析若α＋β＝1，则PA→－PB→＝β(PC→－PB→)，即BA→＝βBC→，显然，A，B，C三点共线；若

A，B，C三点共线，则有AB→＝λBC→，故PB→－PA→＝λ(PC→－PB→)，整理得PA→＝(1＋λ)PB→－λPC→，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.12.平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足OA→＝12OB→＋xOC→＋yO

D→，OB→＝2xOC→＋13OD→＋yOE→，则x＋3y等于A.56B.76C.53D.73√解析由点A，B，C，D共面得x＋y＝12，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝23，联立方程组解得x＝16，y＝13，所

以x＋3y＝76.112233445566778899101011111212131314141515161613.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有PM→＝PB1—→＋7BA→＋6AA

1—→－4A1D1—→，那么M必A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内D.在平面AB1C1内√1122334455667788991010111112121313141415151616解析PM→＝PB1—→＋7BA→＋6AA1—→－4A1D

1—→1122334455667788991010111112121313141415151616＝PB1—→＋BA→＋6BA1—→－4A1D1—→＝PB1—→＋B1A1—→＋6BA1—→－4A1D1—→＝PA1—→＋6(PA1—→

－PB→)－4(PD1—→－PA1—→)＝11PA1—→－6PB→－4PD1—→，于是M，B，A1，D1四点共面.14.有下列命题：①若AB→∥CD→，则A，B，C，D四点共线；②若AB→∥AC→，则A，B，C三

点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－25e2，b＝－e1＋110e2，则a∥b；1122334455667788991010111112121313141415151616④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e

2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上).②③④解析根据共线向量的定义，若AB→∥CD→，1122334455667788991010111112121313141415151616则AB∥CD或A，B，C

，D四点共线，故①错；因为AB→∥AC→且AB→，AC→有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－25e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确.15.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋

λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.解析根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，拓广探究215使得OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→成立，其中x＋y＋z＝1，于是15＋23＋λ＝1，所以λ＝215.112233445566

778899101011111212131314141515161616.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.112233445566778899101

0111112121313141415151616求证：B，G，N三点共线.证明设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AM→＝AB→＋23×12(BC→＋BD→)＝AB→＋13(BC→＋BD→)＝AB→＋13(AC

→－AB→＋AD→－AB→)＝13(AB→＋AC→＋AD→)＝13(a＋b＋c)，1122334455667788991010111112121313141415151616BG→＝BA→＋AG→＝BA→＋34AM→＝－a＋14(a＋b＋c)＝－34a＋14b＋14c，B

N→＝BA→＋AN→＝BA→＋13(AC→＋AD→)＝－a＋13b＋13c＝43BG→，∴BN→∥BG→.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线.1122334455667788991010111112121313141415151616